Vibraciones de red calor especifico

Laboratorio de Física del Estado Sólido

Vibraciones de la red y calor específico de los cristales
Dpto. de Física de Materiales – Facultad de Ciencias Físicas – Universidad Complutense de Madrid
Ciudad Universitaria s/n, 28040 Madrid (Spain)

Durante esta práctica se estudiarán las características de las vibraciones de la red y cómo éstas definen el comportamiento térmico de los cristales.En particular, se estudiará la relación de dispersión ω(k) de las diferentes ramas de fonones en cristales con diferentes simetrías y bases. A partir de ellas se obtendrán las densidades de estados D(ω), pudiendo observar aspectos tales como las singularidades de Van Hove. También se realizarán simulaciones de los principales modelos cuánticos propuestos para explicar la influencia de los fononesen el comportamiento del calor específico de los cristales, incidiendo en el hecho de que las principales diferencias entre ellos radican en la relación de dispersión de fonones considerada y en la densidad de estados que de ella se obtiene.

1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA I. VIBRACIONES DE LA RED
Cuando los átomos se ordenan formando un cristal se colocan en la posición de mínima energía. Estosignifica que cada átomo se encuentra en un mínimo del potencial creado por el resto de los átomos que constituyen el cristal. Por otro lado sabemos que en todo sistema físico, cuando éste se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, su movimiento puede aproximarse al de un oscilador lineal. Por ello, podemos imaginar el cristal como un conjunto de átomos unidos todos ellos mediante muellesideales tal y como puede observarse en la figura 1. Por tanto, clásicamente se puede ver como un sistema de osciladores acoplados que poseerá modos normales de oscilación con frecuencias características y en el cual se producirá propagación de ondas. Desde el punto de vista cuántico, estos modos normales dan lugar al concepto de fonones: los cuantos de energía vibracional. La velocidad a la cual sepropagan las ondas dependerá en general de la dirección en que lo hacen y también de si la vibración se produce en esa misma dirección (ondas longitudinales) o perpendicular (ondas transversales).

Cadena Monoatómica Unidimensional
Supongamos un sistema como el que mostramos en la figura 2. Se trata de un conjunto infinito de átomos de masa m separados por una distancia a y situados a lo largode una dirección y la constante elástica que los une es c. Supongamos una interacción tipo oscilador armónico entre ellos y que la interacción afecta sólo a los primeros vecinos. Supongamos además, sin una gran pérdida de generalidad, que la energía potencial de un solo átomo depende de la distancia que lo separa de sus primeros vecinos y no de la posición de los átomos más alejados. Esta últimaaproximación no es muy real pero funciona bastante bien para poder resolver el problema en primera aproximación. Para hacer el problema matemáticamente más sencillo, haremos también la suposición de que los átomos sólo pueden desplazarse en la dirección de la cadena, es decir que sólo pueden vibrar longitudinalmente.

Figura 2: Cadena monoatómica unidimensional.

De manera bastante sencilla sedemuestra que la relación de dispersión en este caso es:

Figura 1. Modelo de un cristal en el que las interacciones entre átomos se sustituyen por muelles.

La comprensión del comportamiento de estas ondas, en particular la relación de dispersión ω(k) entre su frecuencia y su número de onda, es esencial para poder explicar, por ejemplo, la dependencia del calor específico de los cristalesrespecto de la temperatura, así como algunos fenómenos ópticos y de conductividad eléctrica. Indiquemos las características principales de la relación de dispersión en los diferentes casos que se pueden encontrar, comenzando por el más sencillo.
E-mail: emilio.nogales@fis.ucm.es

Dado un número de onda cualquiera, podemos saber la frecuencia con la que oscila. ¿Qué números de onda pueden existir...