Vibraciones En Maquinas

DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

© 2004 V. BADIOLA

5. Vibraciones en
Máquinas
Una vibración es una pequeña oscilación alrededor de la posición de equilibrio.
Los movimientos vibratorios en máquinas se presentan cuando sobre las piezas elásticas actúan
fuerzas variables. Generalmente, estos movimientos son indeseables, aún cuando en algunos casos
(transportadoresvibratorios, p.e) se diseñan deliberadamente en la máquina.
El análisis de las vibraciones requiere el siguiente procedimiento general:
Evaluar las masas y la elasticidad de las piezas a estudio
Calcular la cantidad de rozamiento actuante
Idealizar el implemento mecánico real, reemplazándolo por un sistema aproximadamente
equivalente de masas, resortes y amortiguadores
Escribir la ecuacióndiferencial de movimiento del sistema idealizado
Resolver la ecuación e interpretar los resultados
El sistema ideal más sencillo consiste de una masa única, un resorte único y un amortiguador,
como muestra la siguiente figura. Este sistema se define como un sistema de un grado de libertad.

Figura 1
La ecuación diferencial de movimiento para este sistema es:
&&
m&+ cx + kx = F( t )
x

- 81(1)

DISEÑO DE MÁQUINAS I

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Donde:
m: masa
k: constante del resorte (fuerza por unidad de deformación)
c: constante de amortiguamiento (fuerza por unidad de velocidad). Se supone que el
amortiguamiento es viscoso, es decir, que la fuerza resistente es proporcional a la velocidad.
F(t): fuerza externa, función del tiempo
x: desplazamiento de la masa desde laposición de equilibrio estático
&x
&
x, &: derivadas primera y segunda respectivamente de x con respecto a t.

Cualquier sistema de un solo grado de libertad puede describirse por medio de la misma forma
de ecuación diferencial escrita anteriormente, si la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento
y la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad. Para el sistema general de unsolo grado de
libertad podemos escribir:
&
&
m e &+ c e x + k e x = F( t )
x

(2)

Donde me,ce,ke son la masa equivalente, la constante de amortiguamiento equivalente y la
constante del resorte equivalente, respectivamente. El desplazamiento x puede ser lineal o angular.
Ejemplo:

5.1. VIBRACIONES LIBRES
Se presenten cuando después de una perturbación inicial, no existe ningunafuerza externa de
excitación, esto es, F(t)=0. La ecuación diferencial es:
&
&
m e &+ c e x + k e x = 0
x

(3)

Se buscan soluciones de la forma: x = C ⋅ e s⋅t
Así, la solución de esta ecuación puede escribirse: x = A ⋅ e s1⋅t + B ⋅ e s2 ⋅t
Donde:
c
c
s1 = − e +  e
 2m
2m e
e

DISEÑO DE MÁQUINAS I

2


c
k
c
 − e y s2 = − e −  e

 2m
me
2m e
e



2

k
−e

me


(4) y (5)

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y A1 y A2 son constantes determinadas por las condiciones iniciales.
Al valor 2 k e ⋅ m e se denomina amortiguamiento crítico cc.
Se define el amortiguamiento relativo como el cociente entre el amortiguamiento real y el
amortiguamiento crítico.
ξ=

ce
cc

(6)

Sepueden distinguir tres casos:
c
CASO 1: AMOTIGUAMIENTO SUPERCRÍTICO  e
 2m
e


2


k
 > e → c e > 2 k e ⋅ me

me


Las raíces de la ecuación son dos soluciones distintas, reales y negativas:
x = A ⋅ e s1⋅t + B ⋅ e s2 ⋅t

(7)

La solución no es del tipo ondulatorio sino que es del tipo exponencial decreciente, y tiende
antes a cero conforme mayor es el amortiguamiento ce:x
x=xo

t
Figura 2
c
CASO 2: AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO  e
 2m
e


2


k
 = e → c e = 2 k e ⋅ me

me


Las raíces de la ecuación son dos soluciones iguales, reales y negativas:
x = (A + B ) ⋅ e

−

ce
⋅t
2m e

(8)

Si el amortiguamiento es igual o mayor que el crítico, entonces la solución de la ecuación para
vibraciones libres no contiene términos...