Vibraciones mecanicas sistemas con un grado le libertad
Páginas: 5 (1247 palabras)
Publicado: 20 de febrero de 2012
UNIDAD V.- SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
CON EXCITACIÓN ARBITRARIA
Cuando un sistema dinámico es afectado por una súbita excitación , la respuesta correspondiente se denomina “respuesta transitoria”, puesto que no se producen oscilaciones estacionarias.
Las oscilaciones resultantes tienen lugar a las frecuencias naturales del sistema con la magnitud variando en una forma quedepende del tipo de excitación.
5.1.- Análisis de sistemas sometidos a excitación de impulso y a excitación arbitraria.
5.1.1.- Excitación impulso.
El impulso es la integral temporal de la fuerza y se designa por . El impulso se determina por
----------------- (5.1)
La siguiente figura muestra una fuerza impulsiva de magnitud con una duración .
Figura (5.1)Cuando , tales fuerzas crecen sin límite; sin embargo, el impulso definido por la integral (5.1) se considera finito. Cuando es igual a la unidad ( ) se denomina “impulso unitario” o “función delta”.
Una función en se identifica por y tiene las siguientes propiedades:
a).- para todo
b).- , para
Si es multiplicada por cualquier función temporal , como se muestra en lafigura (5.2), el producto será nulo en todas sus partes excepto en y su integral temporal es
, para
Figura (5.2)
Como , el impulso que actúa sobre la masa, generará un cambio repentino de velocidad igual a , sin cambio apreciable de desplazamiento.
Si bajo vibración libre, el sistema resorte-masa no amortiguado con condiciones iniciales y se comporta de acuerdo con la ecuación, la respuesta de un sistema resorte-masa inicialmente en reposo y excitado por un impulso es
-------------------- (5.2)
en donde
Cuando hay amortiguamiento presente, podemos manejar la ecuación de la vibración libre
, y sustituyendo las condiciones iniciales correspondientes se obtiene
----------------- (5.3)
La respuesta al impulso unitario es de mucha importancia enlos problemas transitorios y se representa por . De esta manera, para el caso amortiguado o no amortiguado, la ecuación para la respuesta de impulso unitario puede expresarse por
---------------- (5.4)
En donde el lado de la derecha está dado por la ecuación (5.2) o (5.3).
5.2.- Excitación arbitraria.
Conociendo la respuesta a un impulso unitario , es posible establecer la ecuaciónpara la respuesta del sistema excitado por una fuerza arbitraria . Para esto, consideramos la fuerza arbitraria como una serie de impulsos en el tiempo , como se indica en la figura (5.3), en donde , y su contribución en el tiempo depende del tiempo transcurrido ( ) o .
Como el sistema considerado es lineal, rige el principio de superposición. Combinando todas lascontribuciones, la respuesta a la excitación arbitraria está representada por la integral
--------------- (5.5)
Esta integral se conoce como la “integral de convolución” o la “integral de superposición”.
Cuando , en donde es el tiempo impulso, el límite superior de la ecuación (5.5) permanece constante en porque la integral puede escribirse por
--------------- (5.6)
En éste caso lasegunda integral es cero pues para .
Existen tres funciones forzantes básicas que pueden ser utilizadas para dar solución aproximada a los problemas de movimiento transitorio. Estas son:
a).- Función forzante de escalón rectangular
b).- Función forzante de rampa
c).- Función de paso exponencialmente decreciente
5.2.1.- Función forzante de escalón rectangular.
Laecuación de movimiento del sistema es:
El desplazamiento resultante es:
Si el sistema se encuentra inicialmente en reposo, y , siendo las constantes y , por lo que la respuesta es
5.2.2.- Función forzante de rampa.
La función forzante aumenta linealmente al transcurrir el tiempo.
La ecuación del movimiento es:
El desplazamiento resultante es:...
CON EXCITACIÓN ARBITRARIA
Cuando un sistema dinámico es afectado por una súbita excitación , la respuesta correspondiente se denomina “respuesta transitoria”, puesto que no se producen oscilaciones estacionarias.
Las oscilaciones resultantes tienen lugar a las frecuencias naturales del sistema con la magnitud variando en una forma quedepende del tipo de excitación.
5.1.- Análisis de sistemas sometidos a excitación de impulso y a excitación arbitraria.
5.1.1.- Excitación impulso.
El impulso es la integral temporal de la fuerza y se designa por . El impulso se determina por
----------------- (5.1)
La siguiente figura muestra una fuerza impulsiva de magnitud con una duración .
Figura (5.1)Cuando , tales fuerzas crecen sin límite; sin embargo, el impulso definido por la integral (5.1) se considera finito. Cuando es igual a la unidad ( ) se denomina “impulso unitario” o “función delta”.
Una función en se identifica por y tiene las siguientes propiedades:
a).- para todo
b).- , para
Si es multiplicada por cualquier función temporal , como se muestra en lafigura (5.2), el producto será nulo en todas sus partes excepto en y su integral temporal es
, para
Figura (5.2)
Como , el impulso que actúa sobre la masa, generará un cambio repentino de velocidad igual a , sin cambio apreciable de desplazamiento.
Si bajo vibración libre, el sistema resorte-masa no amortiguado con condiciones iniciales y se comporta de acuerdo con la ecuación, la respuesta de un sistema resorte-masa inicialmente en reposo y excitado por un impulso es
-------------------- (5.2)
en donde
Cuando hay amortiguamiento presente, podemos manejar la ecuación de la vibración libre
, y sustituyendo las condiciones iniciales correspondientes se obtiene
----------------- (5.3)
La respuesta al impulso unitario es de mucha importancia enlos problemas transitorios y se representa por . De esta manera, para el caso amortiguado o no amortiguado, la ecuación para la respuesta de impulso unitario puede expresarse por
---------------- (5.4)
En donde el lado de la derecha está dado por la ecuación (5.2) o (5.3).
5.2.- Excitación arbitraria.
Conociendo la respuesta a un impulso unitario , es posible establecer la ecuaciónpara la respuesta del sistema excitado por una fuerza arbitraria . Para esto, consideramos la fuerza arbitraria como una serie de impulsos en el tiempo , como se indica en la figura (5.3), en donde , y su contribución en el tiempo depende del tiempo transcurrido ( ) o .
Como el sistema considerado es lineal, rige el principio de superposición. Combinando todas lascontribuciones, la respuesta a la excitación arbitraria está representada por la integral
--------------- (5.5)
Esta integral se conoce como la “integral de convolución” o la “integral de superposición”.
Cuando , en donde es el tiempo impulso, el límite superior de la ecuación (5.5) permanece constante en porque la integral puede escribirse por
--------------- (5.6)
En éste caso lasegunda integral es cero pues para .
Existen tres funciones forzantes básicas que pueden ser utilizadas para dar solución aproximada a los problemas de movimiento transitorio. Estas son:
a).- Función forzante de escalón rectangular
b).- Función forzante de rampa
c).- Función de paso exponencialmente decreciente
5.2.1.- Función forzante de escalón rectangular.
Laecuación de movimiento del sistema es:
El desplazamiento resultante es:
Si el sistema se encuentra inicialmente en reposo, y , siendo las constantes y , por lo que la respuesta es
5.2.2.- Función forzante de rampa.
La función forzante aumenta linealmente al transcurrir el tiempo.
La ecuación del movimiento es:
El desplazamiento resultante es:...
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