VIBRACIONES MECÁNICAS M
Páginas: 15 (3709 palabras)
Publicado: 9 de octubre de 2015
VIBRACIONES MECÁNICAS
Cuando se realiza un viaje en avión. En condiciones normales el avión permanece estable en gran parte del recorrido; sin embargo, una turbulencia puede provocar la pérdida momentánea de la estabilidad y el equilibrio; cuando esto ocurre, el avión empieza a vibrar intentando regresar a su posición de equilibrio. Afortunadamente el avión cuenta con diversos aparatos quepermiten la disipación de la vibración de forma rápida y segura.
Otro ejemplo, es cuando se viaja en un auto y, sin reducir la velocidad, se pasa por un tope o bache. Inmediatamente el auto empieza a vibrar verticalmente y sólo la acción de los amortiguadores permite reducir y desaparecer las vibraciones del auto.
En general, las vibraciones aparecen cuando se aplica una pequeña fuerza a unsistema físico que se encuentra inicialmente en un estado de equilibrio estable. Cuando esta fuerza desaparece, el sistema tiende a regresar a su posición de equilibrio.
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M. A. S.)
Para inicial, vamos a definir algunos conceptos básicos sobre el tema.
Amplitud (A): Desplazamiento máximo respecto de la posición de equilibrio.
Periodo (T): Tiempo en realizar una oscilacióncompleta.
Frecuencia angular (ω): Ángulo que barre la partícula con M. A. S. por unidad de tiempo (velocidad angular). Se mide en radianes sobre segundo.
Frecuencia (f): Número de oscilaciones de la partícula por unidad de tiempo. Está dada en ciclos sobre segundo, es decir en Hertz (H).
Constante de fase (ø): Ángulo que determina el momento en que se analiza el movimiento.
Posición (0)Equilibrio ø = 0
Elongación (x): Posición de la partícula en cualquier instante a partir de la posición de equilibrio.
Graficando el movimiento anterior se tiene:
Para el estudio de las vibraciones mecánicas, analicemos una situación cotidiana y simple. Consideremos un cuerpo de masa m que está unido a una pared por medio de un resorte de constante k (sistema masa-resorte) el cual seencuentra sobre una mesa horizontal. Por simplicidad supongamos también que no existe fricción entre el cuerpo y la mesa y que el sistema se encuentra inicialmente en equilibrio. De repente, el resorte se comprime (o se elonga) una distancia pequeña, medida desde la posición de equilibrio, y se le aplica una velocidad. Desde ese momento, el resorte ejerce una fuerza sobre la masa que tiende aregresarla a su posición de equilibrio inicial. En general, esta fuerza depende de la distancia comprimida (o elongada) del resorte. Si la compresión (o elongación) es pequeña, se puede suponer que la fuerza es directamente proporcional a dicha deformación y que siempre apunta hacia la posición de equilibrio o en sentido contrario a la deformación. Dicha suposición se conoce como Ley de Hooke pararesortes lineales. Es decir, la fuerza FR (fuerza recuperadora elástica) que en todo momento ejerce el resorte sobre la masa está dada por
donde la x es la deformación y k > 0 es la constante del resorte.
De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, la suma de todas las fuerzas que se aplican a un cuerpo produce un cambio a su movimiento que se rige por la ecuación.
Igualando estos 2 resultados, seobtiene el Problema de valor inicial (PVI) que moldea el sistema masa-resorte:
Es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes. Tenemos que la ecuación auxiliar es:
Despejando r, obtenemos sus raíces imaginarias.
Anteriormente definimos la frecuencia angular de la siguiente forma , entonces tenemos que , de tal forma que la solución de este conjunto lo constituyenlas dos funciones . Entonces la solución general de la ecuación diferencial es
Derivando la ecuación anterior tenemos
Debemos de encontrar las contantes c1 y c2. Esto lo haremos a partir de las condiciones iniciales de movimiento. Cuando la masa se encuentra a , entonces
Obteniendo así que
Sustituyendo los resultados en la solución general, se obtiene la siguiente expresión para la posición...
Cuando se realiza un viaje en avión. En condiciones normales el avión permanece estable en gran parte del recorrido; sin embargo, una turbulencia puede provocar la pérdida momentánea de la estabilidad y el equilibrio; cuando esto ocurre, el avión empieza a vibrar intentando regresar a su posición de equilibrio. Afortunadamente el avión cuenta con diversos aparatos quepermiten la disipación de la vibración de forma rápida y segura.
Otro ejemplo, es cuando se viaja en un auto y, sin reducir la velocidad, se pasa por un tope o bache. Inmediatamente el auto empieza a vibrar verticalmente y sólo la acción de los amortiguadores permite reducir y desaparecer las vibraciones del auto.
En general, las vibraciones aparecen cuando se aplica una pequeña fuerza a unsistema físico que se encuentra inicialmente en un estado de equilibrio estable. Cuando esta fuerza desaparece, el sistema tiende a regresar a su posición de equilibrio.
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M. A. S.)
Para inicial, vamos a definir algunos conceptos básicos sobre el tema.
Amplitud (A): Desplazamiento máximo respecto de la posición de equilibrio.
Periodo (T): Tiempo en realizar una oscilacióncompleta.
Frecuencia angular (ω): Ángulo que barre la partícula con M. A. S. por unidad de tiempo (velocidad angular). Se mide en radianes sobre segundo.
Frecuencia (f): Número de oscilaciones de la partícula por unidad de tiempo. Está dada en ciclos sobre segundo, es decir en Hertz (H).
Constante de fase (ø): Ángulo que determina el momento en que se analiza el movimiento.
Posición (0)Equilibrio ø = 0
Elongación (x): Posición de la partícula en cualquier instante a partir de la posición de equilibrio.
Graficando el movimiento anterior se tiene:
Para el estudio de las vibraciones mecánicas, analicemos una situación cotidiana y simple. Consideremos un cuerpo de masa m que está unido a una pared por medio de un resorte de constante k (sistema masa-resorte) el cual seencuentra sobre una mesa horizontal. Por simplicidad supongamos también que no existe fricción entre el cuerpo y la mesa y que el sistema se encuentra inicialmente en equilibrio. De repente, el resorte se comprime (o se elonga) una distancia pequeña, medida desde la posición de equilibrio, y se le aplica una velocidad. Desde ese momento, el resorte ejerce una fuerza sobre la masa que tiende aregresarla a su posición de equilibrio inicial. En general, esta fuerza depende de la distancia comprimida (o elongada) del resorte. Si la compresión (o elongación) es pequeña, se puede suponer que la fuerza es directamente proporcional a dicha deformación y que siempre apunta hacia la posición de equilibrio o en sentido contrario a la deformación. Dicha suposición se conoce como Ley de Hooke pararesortes lineales. Es decir, la fuerza FR (fuerza recuperadora elástica) que en todo momento ejerce el resorte sobre la masa está dada por
donde la x es la deformación y k > 0 es la constante del resorte.
De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, la suma de todas las fuerzas que se aplican a un cuerpo produce un cambio a su movimiento que se rige por la ecuación.
Igualando estos 2 resultados, seobtiene el Problema de valor inicial (PVI) que moldea el sistema masa-resorte:
Es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes. Tenemos que la ecuación auxiliar es:
Despejando r, obtenemos sus raíces imaginarias.
Anteriormente definimos la frecuencia angular de la siguiente forma , entonces tenemos que , de tal forma que la solución de este conjunto lo constituyenlas dos funciones . Entonces la solución general de la ecuación diferencial es
Derivando la ecuación anterior tenemos
Debemos de encontrar las contantes c1 y c2. Esto lo haremos a partir de las condiciones iniciales de movimiento. Cuando la masa se encuentra a , entonces
Obteniendo así que
Sustituyendo los resultados en la solución general, se obtiene la siguiente expresión para la posición...
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