Vibraciones

Vibraciones Mecánicas
Veamos las ecuaciones que gobiernan los diferentes sistemas resorte-masa a) Movimiento libre no amortiguado

K

M

X Posicion de equilibrio
Ecuación diferencial quegobierna el movimiento: mx '' (t )  kx(t )  0 Solución: k (frecuencia circular) m C=amplitud;   ángulo de fase x(t )  C cos( w0t   ), w 0  El periodo del movimiento es el tiempo requerido para queel sistema complete una oscilación dad por T 2 segundos , su frecuencia es w0 1 w0  T 2 dado en hertzios (Hz). Este

movimiento es llamado movimiento armónico simple.

a w0

b) Movimientolibre amortiguado

K

M

C

Ecuación diferencial que gobierna el movimiento: mx ''(t )  cx '(t )  kx (t )  0 Movimientos: 1. Movimiento críticamente amortiguada, en caso c 2  4km. Ecuacióndel

movimiento: x(t )  e  t ( A  Bt )  es la raíz doble del polinomio característico.

x (t ) = e - a t ( A + Bt )

2. Movimiento sobreamortiguado: Si c 2  4km , raíces a  b diferentesen el polinomio característico, la solución es: x(t )  0 cuando t  +(t tiempo) x(t )  Ae  Bebt (a,b  ¡ ) , Detectamos que:

ab < 0 , x (t ) = Ae at + Be bt

3. Movimiento  p  w0 2  p 2subamortiguado: donde p=

Si

c 2  4km .

Raíces

complejas

conjugadas

c demás p>0 . La solución seria: 2m

x(t)=e pt ( A cos w1t  Bsenw1t ) donde w1  w0 2  p 2 , x(t)=Ce -ptcos( w1t   )

x (t ) = - ce - pt cos( w1t - a )

x(t ) = - ce- pt

c) Movimiento forzado no amortiguado

K

M F(t)

F(t) es la fuerza externa, las más frecuentes son cuando F (t )  F0cos wt o F (t )  F0 senwt . W es la llamada frecuencia externa. Veamos el caso inicial. Ecuación: mx ''(t )  kx(t )  F0 cos wt , x(t)=x c (t )  x p (t ), donde xc (t )  A cos w0t  Bsenw0t , w0  k(frecuencia natural o circular) m w  w0 ,

recordando

si

tenemos

que:

Fo x p (t )  C cos wt , donde c= 2m 2 w0  w Fo  x(t )  A cos w0t  senw0  2m 2 cos w0t .Así si tenemos que...