Vibraciones
Páginas: 5 (1138 palabras)
Publicado: 8 de junio de 2012
Curva de Lissajous
Curva de Lissajous en tres dimensiones.
En matemáticas, la curva de Lissajous, también conocida como figura de Lissajous o curva de Bowditch, es la gráfica del sistema de paramétricas correspondiente a la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares:
Esta familia de curvas fue investigada por Nathaniel Bowditch en 1815 y después,con mayores detalles, por Jules Antoine Lissajous.
Propiedades
La apariencia de la figura es muy sensible a la relación, esto es, la relación entre las frecuencias de los movimientos en x e y. Para un valor de 1, la figura es una elipse, con los casos especiales del círculo (A = B, δ = π/2 radianes) y de las rectas (δ = 0) incluidos. Otra de las figuras simples de Lissajous es la parábola (a/b =2, δ = π/2). Otros valores de esta relación producen curvas más complicadas, las cuales sólo son cerradas si es un número racional, esto es, si y son conmensurables. Entonces existirán dos números naturales, nx y ny, tales que
y, obviamente, el periodo del movimiento resultante es el valor de T
Obtenido utilizando los valores más pequeños que satisfagan la relación (fracciónirreducible).
La apariencia de estas curvas a menudo sugiere un nudo de tres dimensiones u otros tipos de nudos, incluyendo los conocidos como nudos de Lissajous, proyección en el plano de las figuras de Lissajous
Uso en logotipos
Las figuras de Lissajous son usadas como logotipos. Ejemplos de estos logotipos son el de Australian Broadcasting Corporation (a = 1, b = 3, δ = π/2) y el del Lincoln Laboratoryat MIT (a = 8, b = 6, δ = 0). Las curvas de Lissajous pueden ser trazadas mecánicamente por medio de un armonógrafo.
Superposición de dos M.A.S en la misma dirección
De igual frecuencia:
Se tienen dos oscilaciones armónicas de la misma frecuencia:
La superposición será:
Si se define,
Se obtiene,
Es decir la superposición de dos oscilaciones armónicas de la mismafrecuencia y vibrando en la misma dirección (en este caso, ) da como resultado otra oscilación armónica de la misma frecuencia pero cuya amplitud y fase inicial resultantes depende de las amplitudes y fases iniciales de las oscilaciones componentes de la siguiente forma,
Siendo la diferencia de fase (parámetro que será de suma importancia)
Hay dos casos especiales: cuando, y cuando. En elprimer caso se dice que los osciladores están en fase y que interfieren constructivamente; en el segundo caso que están en oposición y que interfieren destructivamente.
En fase se tiene que la amplitud resultante de la oscilación armónica es:
En oposición se tiene que la amplitud resultante de la oscilación armónica es:
En este último caso, si las oscilaciones que se superponen son de igualamplitud no habrá oscilación resultante (es nula).
En la figura 1 se ilustra esto:
Fase
Oposición
Figura 1
De diferente frecuencia:
Por simplicidad se tratará el caso especial en que las oscilaciones a superponer tienen igual fase inicial, que se tomarán iguales a cero, e igual amplitud:
La oscilación resultante es,
El resultado, es el producto de dos funciones temporales(es decir una función modula a otra). Por tanto, la oscilación resultante no es un movimiento armónico simple, aunque las modulaciones si son armónicas.
Se define como frecuencia de modulación a,
Y como frecuencia promedio a,
Y se obtiene,
Donde se define como amplitud resultante,
la cual se le denomina amplitud modulada ; su valor cambia gobernado por la frecuencia de modulación .Esdecir, la amplitud cambia periódicamente entre los valores extremos 0 (extinción) y (adición) con la frecuencia en hz,
La energía asociada con esta oscilación, por ser proporcional al cuadrado de la amplitud (la energía de un oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud), debe variar entre máximos y mínimos con una frecuencia que es el doble ( la función tiene doble frecuencia que...
Curva de Lissajous en tres dimensiones.
En matemáticas, la curva de Lissajous, también conocida como figura de Lissajous o curva de Bowditch, es la gráfica del sistema de paramétricas correspondiente a la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares:
Esta familia de curvas fue investigada por Nathaniel Bowditch en 1815 y después,con mayores detalles, por Jules Antoine Lissajous.
Propiedades
La apariencia de la figura es muy sensible a la relación, esto es, la relación entre las frecuencias de los movimientos en x e y. Para un valor de 1, la figura es una elipse, con los casos especiales del círculo (A = B, δ = π/2 radianes) y de las rectas (δ = 0) incluidos. Otra de las figuras simples de Lissajous es la parábola (a/b =2, δ = π/2). Otros valores de esta relación producen curvas más complicadas, las cuales sólo son cerradas si es un número racional, esto es, si y son conmensurables. Entonces existirán dos números naturales, nx y ny, tales que
y, obviamente, el periodo del movimiento resultante es el valor de T
Obtenido utilizando los valores más pequeños que satisfagan la relación (fracciónirreducible).
La apariencia de estas curvas a menudo sugiere un nudo de tres dimensiones u otros tipos de nudos, incluyendo los conocidos como nudos de Lissajous, proyección en el plano de las figuras de Lissajous
Uso en logotipos
Las figuras de Lissajous son usadas como logotipos. Ejemplos de estos logotipos son el de Australian Broadcasting Corporation (a = 1, b = 3, δ = π/2) y el del Lincoln Laboratoryat MIT (a = 8, b = 6, δ = 0). Las curvas de Lissajous pueden ser trazadas mecánicamente por medio de un armonógrafo.
Superposición de dos M.A.S en la misma dirección
De igual frecuencia:
Se tienen dos oscilaciones armónicas de la misma frecuencia:
La superposición será:
Si se define,
Se obtiene,
Es decir la superposición de dos oscilaciones armónicas de la mismafrecuencia y vibrando en la misma dirección (en este caso, ) da como resultado otra oscilación armónica de la misma frecuencia pero cuya amplitud y fase inicial resultantes depende de las amplitudes y fases iniciales de las oscilaciones componentes de la siguiente forma,
Siendo la diferencia de fase (parámetro que será de suma importancia)
Hay dos casos especiales: cuando, y cuando. En elprimer caso se dice que los osciladores están en fase y que interfieren constructivamente; en el segundo caso que están en oposición y que interfieren destructivamente.
En fase se tiene que la amplitud resultante de la oscilación armónica es:
En oposición se tiene que la amplitud resultante de la oscilación armónica es:
En este último caso, si las oscilaciones que se superponen son de igualamplitud no habrá oscilación resultante (es nula).
En la figura 1 se ilustra esto:
Fase
Oposición
Figura 1
De diferente frecuencia:
Por simplicidad se tratará el caso especial en que las oscilaciones a superponer tienen igual fase inicial, que se tomarán iguales a cero, e igual amplitud:
La oscilación resultante es,
El resultado, es el producto de dos funciones temporales(es decir una función modula a otra). Por tanto, la oscilación resultante no es un movimiento armónico simple, aunque las modulaciones si son armónicas.
Se define como frecuencia de modulación a,
Y como frecuencia promedio a,
Y se obtiene,
Donde se define como amplitud resultante,
la cual se le denomina amplitud modulada ; su valor cambia gobernado por la frecuencia de modulación .Esdecir, la amplitud cambia periódicamente entre los valores extremos 0 (extinción) y (adición) con la frecuencia en hz,
La energía asociada con esta oscilación, por ser proporcional al cuadrado de la amplitud (la energía de un oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud), debe variar entre máximos y mínimos con una frecuencia que es el doble ( la función tiene doble frecuencia que...
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