vibraciones

Al estudiar las vibraciones de las cuerdas se supuso que la única fuerza de restitución era debida a la tensión de la cuerda y no se tuvo en cuenta su rigidez. Pasaremos ahora al extremo opuesto, donde la fuerza de restitución se debe únicamente a la rigidez del objeto vibrante. Este es el caso de una varilla o de una viga sujeta en uno o más puntos, pero no sometida a ninguna tensión.
Barrasujeta en un extremo. Consideremos una barra rectangular de longitud L, altura h y ancho b (Fig.1). El módulo de elasticidad de la barra (módulo de Young) es E y su masa por unidad de volumen o densidad es .
Se puede mostrar, que la frecuencia de las oscilaciones en el modo fundamental o modo 1 viene dada por:

La forma de vibración de la varilla en su modo fundamental, con un solonodo en su extremo fijo, se muestra en la Fig. 2a. En 2b y 2c se muestra como vibra la varilla en el segundo y tercer modo (con dos y tres nodos, respectivamente, incluyendo el extremo fijo).
Las frecuencias fn de las oscilaciones naturales de los modos 2 y 3 vienen dadas por:

Varilla libre en sus dos extremos. En la Fig. 3 se muestran los tres primeros modos normales de oscilación de unavarilla que está libre en sus dos extremos. La frecuencia del modo fundamental o modo 1 viene dada por:

Las frecuencias relativas entre el modo de frecuencia más baja o modo 1 y los modos sucesivos son: 1; 2,76; 5,40; 8,93; 13,35, etc.
Diapasones. Cuando una varilla libre en sus dos extremos vibra en su modo fundamental se originan dos nodos en la posición que se indica en la Fig.4a. Si lavarilla se va doblando por su mitad, los dos nodos se acercan, como se indica en las Figs.4b y 4c. Cuando las dos ramas se hacen paralelas Fig. 4c tenemos un diapasón, y los dos nodos prácticamente coinciden. Para manejar y montar mejor el diapasón se le aplica una varilla en el medio.
La suposición de que un diapasón se obtiene a partir de una transformación gradual de una varilla explica porqué lasramas oscilan aproximando y alejando sus extremos alternativamente. En una varilla recta hay un antinodo en el medio y los extremos se mueven hacia arriba y abajo simultáneamente, y esto mismo sigue ocurriendo en la varilla doblada, aunque el antinodo central prácticamente haya desaparecido.
En la Fig.5 se observa las trazas, en la pantalla de un osciloscopio, de las oscilaciones de un diapasónA-440 que ha sido golpeado por un martillo blando en un punto que se encuentra entre ¼ y ½ del extremo superior de uno de las varillas. El eje horizontal cubre varios segundos (6s). A partir de un análisis de esta curva podemos determinar que la amplitud de la oscilación decae por un factor 0.7 en un tiempo de aproximadamente 3s. La Fig. 6a muestra las oscilaciones del mismo diapasón pero en unaescala de tiempo del orden del milisegundo (la gráfica se extiende sobre 10 mili-segundos). La traza del osciloscopio es una línea suave sinusoidal con una frecuencia de repetición bien definida. La inspección de esta figura nos muestra que se tienen 4 ciclos completos en un tiempo de 9,1 ms. El período de oscilación es por lo tanto:


La Fig.6b nos muestra (sobre la misma escala de tiempo queen la Fig. 6a la traza del sonido producido cuando el mismo diapasón es golpeado fuertemente en el extremo del diente. Se observa la oscilación básica de 440 Hz, excepto que sobre la traza aparecen pequeñas jorobas que se repiten regularmente. Un examen de la velocidad de repetición de estas jorobas muestran que éstas tienen una frecuencia de 2660 Hz. Estas oscilaciones corresponden al 2º modo deoscilación, también denominado modo “clang”.
Fig. 6.. En (a) se observan en un intervalo de tiempo de 10 milisegundos, las mismas oscilaciones de la Fig. 5, y en (b), se observa, superpuesta a las oscilaciones de la Fig. (a), pequeñas oscilaciones de una frecuencia mayor.
El modo “clang” tiene una frecuencia que depende de los detalles de construcción, pero es usualmente 6 veces mayor que...