vibraciones

VIBRACIONES FORZADAS
1.- CONCEPTO:
Se llaman así cuando hay una fuerza periódica aplicada al sistema o una perturbación periódica de alguna distancia
2.-VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO:
Uno de los movimientos más importantes en el trabajo ingenieril es las vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Los principios que describen este movimiento pueden aplicarse al estudio de lasfuerzas que originan la vibración en varios tipos de máquinas y estructuras.
Fuerza armónica de excitación. El sistema mostrado en la figura, proporciona un modelo de un sistema masa resorte sometido a una fuerza de carácter armónico dada por F = F0 sen (ωt), donde F0 es la amplitud de la vibración armónica y ω es a frecuencia de la vibración armónica.
(a) Bloque sometido a una fuerza periódicaexterna.
(b) DCL y cinético.

Aplicando las ecuaciones de movimiento según el eje x, resulta:



La ecuación (1) es una ecuación diferencial de segunda orden no homogénea con coeficientes constantes. Su solución está compuesta por: i) una solución complementaria; y ii) una solución particular.
a.- La solución complementaria se determina haciendo igual a cero el segundo término de la ecuación(1), y resolviendo la ecuación homogénea, es decir:

La solución de esta ecuación es de la forma:

Como el movimiento es periódico la solución particular es de la forma


Determinando la segunda derivada con respecto al tiempo de la ecuación (3) y remplazando en la ecuación (1) da por resultado:


Despejando el valor de la constante B resulta:

Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta:La solución general será:


De la ecuación (6) se observa que la oscilación total está compuesta por dos tipos de movimiento. Una vibración libre de frecuencia ωn figura (a), y una vibración forzada causada por la fuerza exterior figura (b). De esto se observa que la vibración libre se extingue quedando la vibración permanente o particular como lo muestra la figura (c).


(a) vibraciónlibre
(b) vibración permanente
(c)Superposición de ambas.


En la ecuación (5) se observa que la amplitud de la vibración particular depende de la razón entre las frecuencias forzada y natural. Se define como factor de amplificación al cociente entre la amplitud de la vibración estable y la deflexión estática.



De esta ecuación puede observarse que aparece la resonancia cuando las dosfrecuencias son aproximadamente iguales esto es =1 .El fenómeno de resonancia no es deseable en las vibraciones de elementos estructurales porque producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso de la estructura.

Desplazamiento excitador periódico:
Las vibraciones forzadas también pueden surgir a parir de la excitación periódica de la cimentación de un sistema. El modelo indicado enla figura, representa la vibración periódica de un bloque que es originada por el movimiento armónico δ = δ0senωt.








Vibración forzada debido a un desplazamiento periódico
En la figura, se muestra el DCL y cinético del bloque. En este caso la coordenada x se mide a partir del punto de desplazamiento cero del soporte es decir cuando el radio vector OA coincide con OB. Por lo tanto eldesplazamiento general del resorte será (x –δ0senωt).





Diagrama de cuerpo libre y cinético

Aplicando la ecuación de movimiento según la dirección horizontal se tiene:



Comparado la ecuación (8) con la ecuación (1) se observa que su forma es idéntica por tanto su solución seguirá el mismo procedimiento establecido anteriormente.

3.- VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO:La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico,
, es de la forma:

La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial homogénea es:
Se supone amortiguamiento inferior al crítico para que resulte una vibración, la solución general se obtiene añadiendo a la solución de la ecuación diferencial de la homogénea una solución...