Vibraciones

Una partícula con movimiento armónico simple hace un recorrido de 12cm de derecha a izquierda. Si se desplaza 3cm a partir del lado derecho. Determine el valor de la aceleración máxima que realiza en el recorrido cuando se ha desplazado los 12cm.
a) Determine el tiempo de recorrido en los 12cm y el tiempo cuando ha recorrido los 3 cm.

3cm
3cm

3cm
3cm


a)

b)


Ejemplo#2

Un movimiento armónico simple tiene una frecuencia de 10 ciclos por segundo y la velocidad máxima de 4.57 m/s. Encuentre la amplitud, el periodo y la aceleración máxima.





Ejemplo #3

Determinar: a) la máxima velocidad. b) La máxima aceleración de un objeto que tiene el movimiento armónico que se muestra en la figura.
5
2 seg.
5
2 seg.





2.61 Unoscilador armónico amortiguado tiene una masa m = 1.2 kg, una constante de amortiguamiento c = 12 NS/m, y una constante de resorte K = 0.5 KN/m encontrar: a) la frecuencia natural de amortiguamiento y b) el factor de amortiguamiento y el decremento logarítmico.
Cc = 2mKm
CC =2(1.2Kg)500N/m1.2Kg
Cc = 48.98 NS/m
ζ=12NS/m48.98NS/m = 0.245
γ=2πζ = 2π (0.245) = 1.539
q=1- ζ2 (ωn)
q=1-(0.245)2(20.412rad/s)
q= 19.789rad/s
2.62 un oscilador armónico amortiguado tiene una masa m = 30 Kg y una constante de resorte K = 100000 N/m encontrar a) la constante de amortiguamiento para un factor de amortiguamiento ζ igual 0.1 b) el decremento logarítmico y la frecuencia natural de amortiguamiento
Cc= 2mKm
CC =2(30Kg)100000N/m30Kg
CC= 3464.1 NS/m
ζ=CCc∴ C=ζCC
C=0.1 (3464.1 NS/m) = 346.41 NS/mγ=2πζ = 2π (0.1) = 0.628
q=1- ζ2 (ωn)
q=1-(0.1)2 (57.73 rad/s)
q= 57.44 rad/s

2.63 Un oscilador armónico amortiguado tiene una masa m = 45 gr, una constante de amortiguamiento c = 3.8 NS/m, y una constante de resorte K = 1500 KN/m encontrar a) el factor de amortiguamiento, el decremento logarítmico, y la frecuencia natural de amortiguamiento, b) la respuesta a un desplazamiento inicial a 1 mmCc= 2mKm
CC =2(0.045Kg)1500N/m0.045Kg
CC= 16.43 NS/m
ζ=CCc =3.8 NS/m16.43 NS/m = 0.231
γ=2πζ = 2π (0.231) = 1.451
q=1-ζ2 (ωn)
q=1-(0.231)2 (182.57 rad/s) = 177.63 rad/s
b) Xt= е-ζωnt X0Cosωdt
Xt = е-0.231(182.57) t(0.001) Cos 177.63 t
Xt=0.001 е-42.173 tCos 177.63 t
2.65 un oscilador armónico amortiguado tiene una masa de m = 8 Kg y una constate de resorte k = 1.2 MN/m encontrar:a) la constante de amortiguamiento para una decremento logarítmico de 0.06 b) el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural de amortiguamiento
γ=2πζ ------- 0.06=2πζ
ζ= 0.062π = 0.00955
CC= 2mKm ------- CC =2(8 Kg)1200000 N/m8 Kg
CC= 6196.77 NS/m
ζ=CCc --------- C=ζCC ∴C= (0.00955) (6196.77)= 59.179 NS/m
q =1-(0.00955)2 (387.298 rad/s) = 387.28 rad/s
2.66 una maquinatiene una m = 250 kg y su soporte tiene una constante de amortiguamiento c = 1450 NS/m y rigidez k = 1.3x105 N/m. Si la maquina en su fundación es modelada para un sistema de vibración vertical con un grado de libertad, encontrar: a) la frecuencia natural de amortiguamiento y b) el movimiento resultante de un desplazamiento inicial de 1 mm en la dirección vertical.

CC= 2mKm∴CC =2(250Kg)130000 N/m250 Kg
CC= 11401.75 NS/m
ζ=CCc∴ζ= 1450 NS/m11401.75 NS/m = 0.127
q=1-ζ2 (ωn)
q =1-(0.127)2 (22.8 rad/s) = 22.61 rad/s
b) Xt = е-ζωnt X0Cosωdt
Xt= е-0.127(22.8) t(0.001) Cos 22.61 t
Xt= 0.001 е-2.8956tCos 22.61t

2.67 una maquina tiene una masa m = 250 Kg y tiene una frecuencia natural de amortiguamiento para vibración vertical q = 5140 rad/seg. De la medida de decrementologarítmico, se encontró el factor de amortiguamiento ζ = 0.12. Si la maquina en su fundación es modelada para un sistema de vibración vertical con un grado de libertad, encontrar: a) la rigidez K del soporte elástico y b) el movimiento resultante de una velocidad en la dirección vertical impuesta por un impacto de 1 mm/seg

q=1-ζ2 (ωn)
5140 rad/s = ωn 1-(0.12)2
ωn=5140 rad/s0.99277 = 5177.43...