vibrfaciones

VIBRACION LIBRE
Todos los sistemas que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar libremente, por
otra parte la vibración puede darse en la ausencia de fuerzas externas. Nuestro principal
interés para tales sistemas es determinar su frecuencia natural de vibración. Nuestro
principal objetivo aquí es aprender a escribir la ecuación de movimiento y evaluar su
frecuencia natural, la cuales principalmente una función de la masa y rigidez del
sistema.
El amortiguamiento en cantidades moderadas ejerce poca influencia sobre la frecuencia
natural del sistema y puede despreciarse en su determinación. El sistema puede ser
considerado conservativo, y el principio de conservación de la energía ofrece otra
aproximación para el cálculo de la frecuencia natural. El efecto delamortiguamiento es
evidente principalmente en la disminución de la amplitud de vibración respecto al
tiempo. Aunque existen varios modelos de amortiguamiento, solo aquellos que ofrecen
un procedimiento analítico simple serán considerados.

2.1 MODELO DE VIBRACION

El modelo básico de vibración de un sistema oscilatorio consiste de una masa, un
resorte de masa despreciable y un amortiguador.
Larelación fuerza-deformación se considera lineal, siguiendo la ley de Hooke, F = kx .
El amortiguamiento viscoso, se describe como una fuerza proporcional a la velocidad
F = cx .

2.2 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: FRECUENCIA NATURAL
La figura muestra un sistema masa-resorte sin amortiguamiento, el cual se mueve
verticalmente. Se necesita un grado de libertad (G.D.L.) para especificar su movimientodebido a que este es descrito por una sola coordenada x.

Fig. 2.2.1

Cuando se presenta el movimiento, la oscilación tiene lugar a la frecuencia natural fn, la
cual es propiedad del sistema.
La segunda ley de Newton constituye la base para examinar el movimiento del sistema.
Como se muestra en la figura, la deformación del resorte en la posición estática de
equilibrio es Δ y la fuerza delresorte kΔ es igual a la fuerza gravitacional w actuando
sobre la masa:
k Δ = w = mg
(2.2.1)
1

Por medio de la medición del desplazamiento x a partir de la posición estática de
equilibrio, las fuerzas que actúan sobre m son k (Δ + x) y w. Escogiendo la coordenada x
positiva en la dirección hacia abajo, la fuerza, velocidad, aceleración también serán
positivas.
Ahora aplicamos la segundaley de Newton del movimiento a la masa m:

mx = ∑ F = w − k (Δ + x)
kΔ = w

y debido a que
obtenemos

mx = −kx

(2.2.2)

Es evidente que la elección de la posición estática de equilibrio como referencia para x
ha eliminado w, la fuerza debida a la gravedad, y la fuerza de restauración del resorte kΔ
de la ecuación de movimiento, así como la fuerza resultante sobre m es simplementela
fuerza del resorte debido al desplazamiento x.
Definimos la frecuencia circular ωn por la ecuación:
k
m
La ecuación 2.2.3 puede escribirse como:

ωn 2 =

(2.2.3)

x + ωn 2 x = 0

(2.2.4)

La ecuación anterior es una ecuación diferencial ordinaria homogénea de segundo
orden, la cual tiene la siguiente solución general:
x = Asenωnt + B cos ωnt

(2.2.5)

donde A y B sonconstantes que dependen de las condiciones iniciales x(0) y x(0) , la
ecuación anterior se reduce a:

x=

x(0)

ωn

senωnt + x(0) cos ωnt

(2.2.6)

el periodo natural de oscilación se establece a partir de ωnτ = 2π o
m
k

τ = 2π

(2.2.7)

así la frecuencia natural es
fn =

1

τ

=

1
2π

k
m

(2.2.8)

las cantidades anteriores pueden ser expresadas en términos de ladeflexión estática Δ
como:
2

fn =

1
2π

g
Δ

Note que τ, fn y ωn dependen solamente de la masa y rigidez del sistema.
El elemento elástico puede ser un elemento torsional y así la masa es remplazada por el
momento de inercia. Se anexan las tablas correspondientes a diferentes tipos de resortes
con su respectiva rigidez.
EJEMPLO 2.1:
Determine la deflexión para la viga en...