vicmar
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Publicado: 24 de marzo de 2014
Valor propio
Se dice que el número , real l o complejo, es un valor propio A si existe un vector no nulo u, real o complejo tal que Au = u, es decir (A " I )u = 0
Propiedades de los valores propios
Definición 3 Dos matrices n×n, A y B, se dicen semejantes si existe una matriz invertible P tal que A = P"1BP.
Teorema 3 Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y, porconsiguiente, los mismos valores propios.
Definición 4 Una matriz A se dice diagonalizable (por semejanza) si es semejante a una matriz diagonal.
Teorema 4 Una matriz A, n × n, es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes.
Teorema 5 La suma de los valores propios de una matriz A es igual a la traza de la matriz, es decir, 1 + 2 + · · · + n =aii.
Teorema 6El producto de los valores propios de una matriz A es igual al determinante de la matriz.
Teorema 7 Los valores propios de una matriz triangular son los coeficientes de su diagonal principal.
Teorema 8 Una matriz A es singular si y solo si tiene un valor propio igual a cero.
Teorema 9 Si los valores propios de una matriz A son i, 0 " i " n, los valores propios de la matriz A " I son i " , 0 " i" n.
Los vectores propios de A y A "I son idénticos.
Teorema 10 Los valores propios de las potencias de una matriz A son las correspondientes potencias; los vectores propios son los mismos.
Vector propio
El vector u se denomina vector propio de A asociado al valor propio .
Valor propio
Sea A ∈ Mn y x un vector no nulo de Rn tal que Ax = λx para cierto λ ∈ R. Entonces decimos que λ es unvalor propio (autovalor) real de A y que x es un vector propio (autovector) real de A asociado a λ.
∀A ∈ Mn y ∀λ ∈ R se cumple A→0= λ→0. Por esta raz´on el vector nulo →0 no se considera vector propio.
Teorema
Sea A ∈ Mn y λ ∈ R. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) λ es un valor propio de A.
2 )det(A − λIn) = 0
Valores propios Complejos:
Ejemplo: Solucione el problema del valorinicial
Respuesta: Primero, observe que es el coeficiente de la matriz
Despu�s, necesitamos encontrar los valores propios que se dan como ra�ces de la ecuaci�n caracter�stica
Esto es una ecuaci�n cuadr�tica. Sus ra�ces son dadas por los f�rmulas cuadr�ticos
Fije , y encuentre un vector propio asociado V . Fije
El vector V debe satisfacer la ecuaci�n
.
Esto es equivalente alsistema
.
De la ecuaci�n cuadr�tica conseguimos (cheque �l)
,
entonces tenemos
Esto implica claramente que las dos ecuaciones del sistema son iguales. Por lo tanto, utilizamos solamente el primer para conseguir
Por lo tanto, tenemos
Elija
Las soluciones independientes que generar�n la soluci�n general al sistema son las verdaderas y las partes imaginarias de la soluci�n complejaDesde entonces
,
y
,
donde , tenemos
,
donde
,
y
Por lo tanto, la soluci�n general es
La condici�n inicial implica
,
cu�l da
Por lo tanto, la soluci�n particular deseada es
,
donde
2 EJEMPLO:
Considere el sistema homog�neo linear
El polinomio caracter�stico es
En esta secci�n, consideramos el caso cuando la ecuaci�n cuadr�tica antedicha tiene ra�ces complejas (que essi ). Las ra�ces (valores propios) son
donde
En este caso, la dificultad miente con la definici�n de
Para conseguir alrededor de esta dificultad utilizamos el f�rmula de Euler
Por lo tanto, tenemos
En este caso, el vector propio asociado a la voluntad tiene componentes complejos.
3 Ejemplo. Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz
Respuesta. Elpolinomio caracter�stico es
Sus ra�ces son
Sistema . El vector propio asociado V es dado por la ecuaci�n . Sistema
La ecuaci�n traduce a
Puesto que , entonces las dos ecuaciones son iguales (que deben haber esperado, usted ven porqu�?). Por lo tanto tenemos que implica que es un vector propio
Lo dejamos al lector para demostrar que para el valor propio , el vector propio est�...
Se dice que el número , real l o complejo, es un valor propio A si existe un vector no nulo u, real o complejo tal que Au = u, es decir (A " I )u = 0
Propiedades de los valores propios
Definición 3 Dos matrices n×n, A y B, se dicen semejantes si existe una matriz invertible P tal que A = P"1BP.
Teorema 3 Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y, porconsiguiente, los mismos valores propios.
Definición 4 Una matriz A se dice diagonalizable (por semejanza) si es semejante a una matriz diagonal.
Teorema 4 Una matriz A, n × n, es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes.
Teorema 5 La suma de los valores propios de una matriz A es igual a la traza de la matriz, es decir, 1 + 2 + · · · + n =aii.
Teorema 6El producto de los valores propios de una matriz A es igual al determinante de la matriz.
Teorema 7 Los valores propios de una matriz triangular son los coeficientes de su diagonal principal.
Teorema 8 Una matriz A es singular si y solo si tiene un valor propio igual a cero.
Teorema 9 Si los valores propios de una matriz A son i, 0 " i " n, los valores propios de la matriz A " I son i " , 0 " i" n.
Los vectores propios de A y A "I son idénticos.
Teorema 10 Los valores propios de las potencias de una matriz A son las correspondientes potencias; los vectores propios son los mismos.
Vector propio
El vector u se denomina vector propio de A asociado al valor propio .
Valor propio
Sea A ∈ Mn y x un vector no nulo de Rn tal que Ax = λx para cierto λ ∈ R. Entonces decimos que λ es unvalor propio (autovalor) real de A y que x es un vector propio (autovector) real de A asociado a λ.
∀A ∈ Mn y ∀λ ∈ R se cumple A→0= λ→0. Por esta raz´on el vector nulo →0 no se considera vector propio.
Teorema
Sea A ∈ Mn y λ ∈ R. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) λ es un valor propio de A.
2 )det(A − λIn) = 0
Valores propios Complejos:
Ejemplo: Solucione el problema del valorinicial
Respuesta: Primero, observe que es el coeficiente de la matriz
Despu�s, necesitamos encontrar los valores propios que se dan como ra�ces de la ecuaci�n caracter�stica
Esto es una ecuaci�n cuadr�tica. Sus ra�ces son dadas por los f�rmulas cuadr�ticos
Fije , y encuentre un vector propio asociado V . Fije
El vector V debe satisfacer la ecuaci�n
.
Esto es equivalente alsistema
.
De la ecuaci�n cuadr�tica conseguimos (cheque �l)
,
entonces tenemos
Esto implica claramente que las dos ecuaciones del sistema son iguales. Por lo tanto, utilizamos solamente el primer para conseguir
Por lo tanto, tenemos
Elija
Las soluciones independientes que generar�n la soluci�n general al sistema son las verdaderas y las partes imaginarias de la soluci�n complejaDesde entonces
,
y
,
donde , tenemos
,
donde
,
y
Por lo tanto, la soluci�n general es
La condici�n inicial implica
,
cu�l da
Por lo tanto, la soluci�n particular deseada es
,
donde
2 EJEMPLO:
Considere el sistema homog�neo linear
El polinomio caracter�stico es
En esta secci�n, consideramos el caso cuando la ecuaci�n cuadr�tica antedicha tiene ra�ces complejas (que essi ). Las ra�ces (valores propios) son
donde
En este caso, la dificultad miente con la definici�n de
Para conseguir alrededor de esta dificultad utilizamos el f�rmula de Euler
Por lo tanto, tenemos
En este caso, el vector propio asociado a la voluntad tiene componentes complejos.
3 Ejemplo. Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz
Respuesta. Elpolinomio caracter�stico es
Sus ra�ces son
Sistema . El vector propio asociado V es dado por la ecuaci�n . Sistema
La ecuaci�n traduce a
Puesto que , entonces las dos ecuaciones son iguales (que deben haber esperado, usted ven porqu�?). Por lo tanto tenemos que implica que es un vector propio
Lo dejamos al lector para demostrar que para el valor propio , el vector propio est�...
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