Victor

Universidad de San Carlos de Guatemala
Fac. de Ingenier´ Esc. de Ciencias
ıa,
Departamento de Matem´tica
a

Curso: Matem´tica B´sica 2
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a
Jefa de ´rea: Inga. Silvia Hurtarte
a
Elaborado por: J. C. Bonilla

—proyecto # 1—
L´
IMITES Y DERIVADAS

Elaboraci´n del informe
o
En cada secci´n de Matem´tica B´sica 2, el catedr´tico y su auxiliar decidir´n si el informe es individual
oa
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o en grupos peque˜os. Ellos pueden adem´s solicitar condiciones especiales en la entrega de dicho informe,
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como la elaboraci´n de una introducci´n, o un comentario, por decir algunas. En cualquier caso, debe
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o
ser entregado en hojas en blanco, tama˜o carta, y las soluciones de los problemas escritas a mano. Se
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except´an algunos incisos, que deben ser elaborados enMathematica o Geogebra, seg´n se indique.
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u
En caso de que la entrega en su secci´n sea en grupo, deben colaborar todos los integrantes de manera
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justa. Se debe elaborar una tabla que indique qu´ inciso fue resuelto por cu´l integrante, y no se permite
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a
que un estudiante se dedique exclusivamente a las gr´ficas, sino que la letra de todos los miembros
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debe aparecer en el informe.Problemas a resolver
La identidad trigonom´trica pitag´rica: sen2 θ + cos2 θ = 1, es fundamental en la resoluci´n de proe
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o
blemas geom´tricos. Nuestro primer objetivo ser´ demostrarla haciendo uso de algunos resultados b´sicos
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del c´lculo. Por supuesto, para que esta demostraci´n tenga alguna utilidad, deber´
a
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ıamos ser capaces de
explicar qu´ son el seno y el coseno, porqu´ la derivada del seno es el coseno, y por qu´ la derivada del
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e
e
coseno es el negativo del seno, todo ello sin hacer uso del teorema de Pit´goras. Esto puede ser logrado,
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incluso es posible definir las funciones trigonom´tricas sin recurrir a ning´n concepto geom´trico, pero no
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lo haremos aqu´ (se necesita teor´ de la matem´tica intermedia 1).
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ıa
a

1

a Considerela funci´n f (θ) = sen2 θ + cos2 θ, sin la suposici´n de que sea igual a 1. Derive f (θ)
o
o
respecto de θ.
e
b ¿Qu´ tipo de funciones son aquellas cuya derivada toma el valor calculado en el inciso anterior?
c Halle el intercepto con el eje y de la funci´n f (θ). Esto se hace igualando a cero la variable
o
independiente. ¿A qu´ conclusi´n llega respecto de la funci´n f (θ)?
e
o
o
Acontinuaci´n verificaremos un par de l´
o
ımites trigonom´tricos que usted debi´ haber memorie
o
zado anteriormente. El primero de ellos es:
sen θ
=1
θ→0 θ
l´
ım

Vamos a probar que en efecto vale 1, y para ello emplearemos la t´cnica del emparedamiento, que
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dice que si tres funciones est´n ordenadas de menor a mayor en un intervalo, y si la menor y la
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mayor tienen el mismo l´ımite cuando la variable tiende a un valor fijo en el intervalo, entonces la de
enmedio debe poseer tambi´n ese mismo l´
e
ımite.

Figura 1: Construcci´n geom´trica
o
e
2

a Utilizando Geogebra elabore una copia de la Figura 1. El punto A deber´ poder deslizarse
ıa
sobre el borde del c´
ırculo. Al final, haciendo click derecho en el fondo de la gr´fica, puede elegir
a
la opci´n de removerlos ejes. Si el centro del c´
o
ırculo est´ en el origen, puede emplear una recta
a
perpendicular al eje horizontal, que pase por A, para dibujar el segmento vertical AB (el cuarto
bot´n, en la banda de arriba tiene una flechita que desglosa un men´, en ese men´ elija “recta
o
u
u
perpendicular”. Luego haga click sobre el eje x y despu´s sobre el punto A). Marcar el punto de
eintersecci´n B con el eje horizontal (eso se hace con el bot´n “nuevo punto”), ocultar la recta
o
o
AB y re-dibujar un segmento finito en su lugar (hacer lo mismo con los otros segmentos). Con
los ejes ocultos, mueva A reduciendo el ´ngulo, haciendo que se aproxime a cero. Notar´ que
a
a
las ´reas mostradas en la figura 2 tienden a volverse similares entre s´ (y todas ellas tienden a
a
ı
cero)....