Victor

RESUMEN ANÁLISIS VECTORIAL
Sistemas de Coordenadas
Tres tipos de sistemas de coordenadas van a ser importantes.
Coordenadas Rectangulares | Coordenadas Cilíndricas | Coordenadas esféricas |
|| |
(x,y,z) | (r,,z) | (R,,) |
Cambio de coordenadas
Cilíndricas a rectangulares | Esféricas a rectangulares | Esféricas a cilíndricas |
x = r cos y = r sen z = z | x = R senθ cosy = R senθsenz = R cos | r = R sen = Z = Rcosθ |
Rectangulares a cilíndricas | Rectangulares a esféricas | Cilíndricas a esféricas |
r=x2+y2ϕ=tan-1yxz=z | R=x2+y2+z2θ=tan-1x2+y2zφ=tan-1yx |R=r2+z2θ=tan-1zφ=ϕ |

Elementos de longitud, área y volumen:
Rectangulares
dl=uxdx+uydy+uzdz
dSx=dy dz dSy=dz dx dSz=dx dy
dV=dx dy dz
Cilíndricas
dl=urdr+uϕrdϕ+uzdz
dSr=r dϕ dz dSϕ=dz dx dSz=r drdφ
dV=r dr dϕ dz
Esféricas
dl=uRdR+uθR dθ+uφRsenθdφ
dSR=R2senθdθ dφ dSθ=Rsen θ dφ dR dSφ=R dR dθ
dV=R2senθ dR dθ dφ
Operador Vectorial Diferencial ∇
Rectangulares | Cilíndricas |Esféricas |
∇=ux∂∂x+uy∂∂y+uz∂∂z | ∇=ur∂∂r+uϕ1r∂∂ϕ+uz∂∂z | ∇=uR∂∂R+uθ1R∂∂θ+uφ1R senθ∂∂φ |
Operadores
* Gradiente de A es
Coordenadas rectangulares: ∇A=∂A∂xux+∂A∂yuy+∂A∂Zuz
Coordenadascilíndricas: ∇A=∂A∂rur+1r∂A∂ϕuϕ+∂A∂Zuz
Coordenadas esféricas: ∇A=∂A∂RuR+1R∂A∂θuθ+1R senθ∂A∂φuφ

* Divergencia de A es
Coordenadas rectangulares: ∇·A=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z
Coordenadas cilíndricas:∇·A=1r∂rAr∂r+1r∂Aϕ∂ϕ+∂Az∂Z
Coordenadas esféricas: ∇·A=1R2∂R2AR∂R+1R senθ∂senθ Aθ∂θ+1R senθ∂Aφ∂φ
* Rotacional de A es (en coordenadas rectangulares) ∇×A=∂Az∂y-∂Ay∂z∂Ax∂z-∂Az∂x∂Ay∂x-∂Ax∂y
* Laplaciano deA (escalar) es ∇2A=∆A
Coordenadas rectangulares: ∇2A=∂2A∂x2+∂2A∂y2+∂2A∂z2
Coordenadas cilíndricas: ∇2A=1r∂∂rr∂A∂r+1r2∂2A∂ϕ2+∂2A∂z2
Coordenadas esféricas: ∇2A=1R2∂∂RR2∂A∂R+1R2senθ∂∂θsenθ∂A∂θ+1R2sen2θ∂2A∂φ2
Identidades del Operador Vectorial Diferencial
∇·∇f=∇2f
∇·∇×F=0
∇×∇f=0
∇×∇×F=∇∇·F-∇2F
∇g f=∇gf+g∇f
∇F·G=F·∇G+F×∇×G+G·∇F+G×∇×F
∇·f F=∇f·F+f ∇·F
∇·F×G=∇×F·G-∇×G·F
∇×f...