vida social

1

1.

CÁLCULO DE PRIMITIVAS

Definición 1.1. Primitiva.
Una función F (x) es primitiva de f (x) si F (x) = f (x) para todo x del
dominio de f .
Obsérvese que si F (x) es primitiva de f (x), entonces F (x) + C también
lo es para todo C ∈ R.
Definición 1.2. Dada la función f (x), llamamos integral indefinida de f (x)
al conjunto de todas sus primitivas. Se denota f (x) dx = F (x) + C,donde
C es una constante arbitraria y F (x) es una primitiva cualquiera de f (x).
f (x) + g(x) dx =

Obsérvese que
a f (x) dx.

DIFERENCIALES
f (x) =

dy
dx

=

d(f (x))
,
dx

g(x) dx y

af (x) dx =

INTEGRALES
d(f (x)) = f (x)dx

1. d(f (x))n = n(f (x))n−1 f (x)dx
2. d(ln f (x)) =

f (x) dx +

1.

f (x)
dx
f (x)

3. d(loga f (x)) = loga e

f (x) + C =
f (x)n+1n+1

f (x)dx

f (x)
dx
f (x)

2. ln f (x) + C =
f (x)
dx
f (x)

f (x)n f (x)dx

+C =

f (x)
f (x)

3. loga f (x) + C =

loga e dx

4. d(af (x) ) = ln a af (x) f (x)dx

4. af (x) + C =

af (x) f (x) ln a dx

5. d(ef (x) ) = ef (x) f (x)dx

5. ef (x) + C =

ef (x) f (x)dx

6. d(sen f (x)) = cos(f (x))f (x)dx

6. sen f (x) + C =

cos(f (x))f (x)dx

7. d(cosf (x)) = − sen(f (x))f (x)dx

7. cos f (x) + C =

− sen(f (x))f (x)dx

8. d(tg f (x)) =

f (x)
dx
cos2 f (x)

8. tg f (x) + C =

f (x)

9. d(cotg f (x)) = − sen2 f (x) dx

10. sec f (x)+C =

f (x)

9. cotg f (x) + C =

10. d(sec f (x)) = f (x) sec f (x) tg f (x)dx

f (x)
dx
cos2 f (x)

− sen2 f (x) dx
f (x) sec(f (x)) tg(f (x))dx

11. d(cosec f (x)) = −f (x) cosecf (x) cotg f (x)dx 11. cosec f (x)+C =
f
12. d(arc sen f (x)) = √

(x)

13. d(arc cos f (x)) = − √

f (x)

1−f (x)2

14. d(arc tg f (x)) =

dx

1−f (x)2

−f (x) cosec(f (x)) cotg(f (x))dx

12. arc sen f (x) + C =

dx

13. arc cos f (x) + C =

f (x)
dx
1+f (x)2

14. arc tg f (x) + C =

√f

(x)

1−f (x)2

−f (x)

√

1−f (x)2

dx
dx

f (x)
dx
1+f (x)2f (x)

15. d(arccotg f (x)) = − 1+f (x)2 dx

Integración por partes.

15. arccotg f (x) + C =

fg = fg −

Integración por sustitución.

−f (x)
dx
1+f (x)2

fg

f (x) dx =

f (g(t))g (t) dt

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1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS

1.1.

INTEGRALES INMEDIATAS. EJEMPLOS

Instrucciones de uso: tápese la solución antes de empezar a hacer la integral. Después de resuelta,compruébese que es correcta (sólo después).

−1
2(2x+1)

1.

1
dx
(2x+1)2

2.

2x+1
dx
(x2 +x+1)2

3.

=

1
dx
x2 +2x+1

−1
x+1

=

4.

1
dx
x3 +3x2 +3x+1

5.

√

√

6.
7.
8.
9.
10.

x
dx
3x2 +1

=

=

−1
2(x+1)2

3x2 +1
3

+C

√
6(x+1)7/6
x+1
√
+C
3 x+1 dx =
7
√
√
x+1
dx = 2 x + 1 + C
x+1

√
x2 1 + x3 dx =
√
x 1 − x2 dx =
√2(1+x3 )3/2
9

−(1−x2 )3/2
3

2(1+x)3/2
3

1 + xdx =

+C

ln |3x + 5| + C

12.

3
dx
ax+b

=

3
a

ln |ax + b| + C

=

1
3

ln |x3

14.

x

=

1
9

+ 2| + C

ln |6x3

cos(tg x)
dx
cos2 x

= sen(tg x) + C

cos(arc tg x)
dx
1+x2

= sen(arc tg x) + C

1
dx
1+(3x+27)2

=

+ 1| + C

=

38.

√

39.

1
dx
x(1+(ln x)2 )

41.1
dx
x2 +2x+2

42.

1
dx
9+x2

=

1
3

43.

1
dx
3+x2

=

1
√
3

44.

1
dx
4x2 +4x+2

45.

sec2 (−x + 1)dx = − tg(−x + 1) + C

46.

3 sec2 (2x + 6)dx =

47.

x sec2 (x2 )dx =

48.

sen(2x + 5)dx = − 1 cos(2x + 5) + C
2

49.

2x sen(x2 + 2)dx = − cos(x2 + 2) + C
sen(ln x)
1
dx = − 2 cos(ln x) + C
2x
√
√
sen( x)
√
dx = −2 cos( x) + Cx

18.

1
dx
(1+x2 ) arc tg x

19.

e2x+1 dx

20.

e−x xdx = − 1 e−x + C
2

21.

ex

22.

etg x sec2 xdx = etg x + C

50.

23.

5x 9x dx =

45x
ln 45

51.

= − ln | sen x+cos x|+C

= ln(ln x) + C
= ln(arc tg x) + C

arc tg x

+C
2

1 x3 +1
e
3

+C

+C

24.

e

25.

e2x+1 dx =

26.

2x cos(x2 + 2)dx = sen(x2 + 2) + C

1+x2

dx =...