Vigas en fundación elástica

Vigas en fundación elástica

J. T. Celigüeta

Definición
Q

Viga conectada en toda su longitud en algún medio
material deformable (terreno) que interacciona con ella.
X Se transmite fuerza transversal entre la viga y el medio
material.
X La fuerza transmitida es debida a la deformación del
terreno.

1

Definición
Q

Q

Raíles de ferrocarril, vigas de cimentación, tuberíasenterradas
Primeros estudios:
)
)

Q

Winkler (1875): viga continua de infinitos vanos muy próximos.
Zimmerman (1906) viga continua sobre muelles discretos.

Teoría actual
)

2

Timoshenko (1915).

Comportamiento del terreno
Q

Modelo lineal: proporcionalidad entre la presión sobre el terreno
y la deformación lateral de la viga.
Kt =

p
δ

Kt: Coeficiente de balasto delterreno
|Kt| : F/L3

Habitualmente kg/cm3

Depende fuertemente de la naturaleza del terreno
Determinación: experimental, bibliografía

3

Comportamiento del terreno
Terreno

Kt (kg/cm3)

Arcilla arenosa húmeda

2 - 3

Arcilla arenosa seca

6 - 8

Grava arenosa fina

8 - 10

Grava arenosa seca

15 - 20

Otras fórmulas y valores en la bibliografía
Otros modelos mássofisticados (casos muy especiales)
d 2δ
p = Kt δ + K1 2
dx
4

Teoría básica (1)
Hipótesis de Navier: secciones planas se mantienen
d 2v
perpendiculares a la fibra neutra
ε = −y 2

Q

)
)

Deformación unitaria lineal, proporcional a la curvatura
Curvatura = derivada segunda

Momento flector

Q

d 2v
M ≡ −∫ σydA = EI 2
dx
Se supone comportamiento
bidireccional de lafundación
(terreno empuja en ambos sentidos)

Equilibrio de momentos

Q

5

dM
Q =−
dx

dx

Teoría básica (2)
Equilibrio vertical

Q

dQ = Ktvbdx + qdx

Sustituyendo Q y M
d 4v
EI 4 + Kt b v + q = 0
dx

K = Kt b

Q

Coeficiente de balasto de la viga:

Q

Ecuación de equilibrio de la viga en fundación elástica
d 4v
EI 4 + K v + q = 0
dx
6

Solución general dela ecuación homogénea
Sin carga exterior

d 4v
EI 4 + K v = 0
dx

Soluciones del tipo:

v = e ax
1/ 4

Sustituyendo

a 4EIe ax + Ke ax = 0
a = (±1 ± i ) β

⎛ K ⎞⎟
a = ⎜⎜ ⎟
⎝ EI ⎠

4 números
complejos módulo 1

1/ 4

Siendo

⎛ K ⎞⎟
β = ⎜⎜
⎝ 4EI ⎠⎟

Solución final

v=

∑ Ae
i

i =1,4
7

“Rigidez relativa” viga - terreno

ai x

1/ 4

(−1)

Solucióngeneral de la ecuación homogénea
Sustituyendo exponenciales por trigonométricas

v = e βx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) + e −βx (C 3 cos βx + C 4 sin βx )
Deformación según funciones trigonométricas con amplitud variable de
forma exponencial
Sólo válido para tramos de la viga sin cargas
Las magnitudes restantes (M, Q) tendrán variaciones similares, al
ser derivadas de la deformada
Longitudde onda de la respuesta: β
“Amortiguamiento” de la respuesta: β
Hallar las constantes de integración en cada caso particular
8

Viga infinita con carga puntual
Aplicable la solución general
de la homogénea, salvo en x=0

v = e βx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) +
e −βx (C 3 cos βx + C 4 sin βx )

Condiciones de contorno
Infinito:

x =∞

Simetría:

v ′ (x = 0) = 0

Equilibrio en x=0→
→

C1 = C 2 = 0

−C 3 + C 4 = 0

Q(x = 0) = −EIv ′′′(x = 0) =

v =−
9

v=0

P
2

P β −β x
e (cos βx + sin βx )
2K

→

C3 = −

Pβ
2K

Viga infinita con carga puntual. Deformada

v =−

P β −β x
e (cos βx + sin βx )
2K

Deformada oscilante de amplitud decreciente
La viga se levanta en una serie de tramos.
El primer punto está en x=3π/4β.
Solución sóloválida si el terreno es bidireccional.
En todo caso el error cometido si el terreno no es bidireccional es del
orden del 4%, en los casos habituales en ingeniería
10

Viga infinita con carga puntual. Resultados
v =−

P β −β x
e (cos βx + sin βx )
2K
v =−

Pβ
F1(βx )
2K

d 2v
P −β x
M = EI 2 =
e (cos βx − sin βx )
dx
4β

M=

P
F3 (βx )
4β

d 3v
P
Q = −EI 3 = e −βx...