vigas

Est´atica de Vigas

20 de mayo de 2006

Los elementos estructurales que vamos a estudiar en este cap´ıtulo estar´an
sometidos a fuerzas o distribuciones aplicadas lateral o transversalmente a
sus ejes y el objetivo principal que nos ocupar´a ser´a la determinaci´on de
fuerzas y momentos internos que se producen ´estos con la condici´on de
estaticidad, es decir, aplicando las condiciones deequilibrio est´atico que
hemos visto hasta ahora.

1.

Vigas isoest´
aticas e hiperest´
aticas

Definimos una viga hiperest´atica cuando el n´
umero de ecuaciones de
equilibrio no bastan para resolver las reacciones en los v´ınculos. Esto es
debido al exceso de v´ınculos necesarios para mantener la estaticidad de la
viga. El n´
umero de ecuaciones extras necesarias para igualar el n´
umero de
ecuacionesal total de incognitas es el grado de hiperestaticidad.
Ej.1. El diagrama de cuerpo libre de la viga de masa M doblemente empotrada de la figura:

es

1

Distribuci´
on

1

En la pr´
oxima secci´
on veremos como sustituir una distribuci´
on de fuerza por una
fuerza resultante aplicada a una determinada distancia del origen de referencias

1

Resultante y brazo de palanca

El equilibrio defuerzas y momentos expresado matematicamente:
F = 0 ⇒Ra + Rb − M g = 0
M = 0 ⇒Ma − M gL/2 + Mb + Rb L = 0
Tenemos dos ecuaciones y cuatro incognitas. Por simetr´ıa, sabemos que
Ra = Rb (ecuaci´on extra), de donde obtenemos que Ra = M g/2. Pero
necesitamos otra relaci´on para calcular Ma = Mb . El grado de hiperestaticidad en este caso es dos.
Ej.2. En la siguiente viga:

el diagrama de cuerpo libre es:de donde podemos obtener que: Ra + Rb = F,
Grado de hiperestaticidad 1.

2.

Ma = Rb L − F d.

Vigas isoest´
aticas

En esta secci´on vamos a restringir nuestro estudio al caso de vigas
isoest´aticas, es decir aquellas para las que las reaciones en los v´ınculos
2

pueden ser calculadas a partir de las ecuaciones de equilibrio.
Si existen distribuciones de fuerza, ´estaa ser´an sutituidas porresultantes
aplicadas a una determinada distancia de un origen dado. Utilizaremos la
siguiente figura, para ilustrar la estaticidad para el caso en el que no existan
distribuciones de fuerza axial y las vigas no sean alabeadas. El caso b) queda
planteado como problema.
Si consideramos las componentes vectoriales de las fuerzas y distribuciones
j
ˆj), obtenemos:
(en el caso de la figura, j=1,2,3,ρjdx = dFcontinua
n

FT =

i=1

m

i
Fdiscreta
+

j=1

j
Fcontinua
=0

donde
j
Fcontinua
=

dAj (x)

ρj (x)dx =
Ωj

Ωj

Entonces

i

Fdi +

j

ρj (x) dx = 0
ΩT

Como cada parte infinitesimal de una distribuci´on realiza un momento respecto al origen de coordenadas con valor rdj (x) ΛdFdj (x) = x · ρj (x) dx2 , la
contribuci´on total ser´a la suma de todos los diferenciales de distribuci´on, es
decir,su integral:
i

Mdi +

i

xid Fdi +

j

x · ρj (x) dx = 0
Ωj

En los siguientes ejemplos calcularemos las reacciones en los v´ınculos a
partir de las ecuaciones:
Fdi +

j

xid Fdi +

j

i

Aj = 0

y
i

Mdi +

i

x · ρj (x) dx = 0
Ωj

En este tipo de problemas, si conocemos los momentos de orden cero
Moi =

Ωj

ρj (x) dx = AjR

y uno
M1j =

Ωj

x · ρj (x) dx = MRj

de las distribuciones, elproblema es trivial.
2

siempre que rdj sea perpendicular a dFdj .

3

3.

Ejemplos resueltos y propuestos

3.1.

Ej.1

El DCL de la viga empotrada es:

y como la distribuci´on es ρ (x) = −xH/L y MRj =

MR = −

HL2
3

AR = −

HL
2

Ωj

x · ρj (x) dx ;

y

Como FR = Rd , MR = Md ⇒

3.2.

Rd −

HL
=0
2

Md −

HL2
=0
3

Ej.2

Este caso es similar al anterior respecto a las reacciones en los v´ınculos.

4ρ (x) =

H
x−H
B

MR = −

B2H
6

BH
2
Problema Planteado: Calcule el esfuerzo cortante y momento flector en x=L
utilizando el tramo derecho (de L a B).
AR = −

3.3.

Ej.3

En este caso tomaremos el origen de referencias en el extremo izquierdo
de la viga (I).

Desde aqu´ı,
ρ1 (x) = −

H1
x
d2

0 < x < d2

ρ2 (x) = H2

d1 < x < d2

Las fuerzas resultantes de las distribuciones (momentos de...