Villena PreCal 05 GEOMETRIA PLANA

Moisés Villena Muñoz

Geometría Plana

5
5.1 ANGULOS OPUESTOS POR EL
VÉRTICE
5.2 ANGULOS ALTERNOS INTERNOS,
ALTERNOS EXTERNOS,
CORRESPONDIENTES
5.3 FIGURA PLANA
5.4 TRIÁNGULOS
5.5 CUADRILATEROS
5.6 FIGURAS CIRCULARES

La trigonometría con la Geometría Plana están íntimamente relacionadas. Se requiere
el uso de conceptos y procedimientos geométricos para resolver situaciones prácticas, de
allí suimportancia de estudio.

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Moisés Villena Muñoz

Definiciones y criterios de trigonometría van a ser útiles en este
capítulo.

5.1 ANGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Suponga que dos rectas tienen un mismo punto de intersección

Al punto de intersección se lo denomina vértice. Los pares de
ángulos " x "," φ " y " y "," β " se los denomina "ángulos opuestos por el
vértice". Observeque los ángulos opuestos por el vértice son de igual
medida.

5.2 ANGULOS ALTERNOS INTERNOS,
ALTERNOS EXTERNOS, CORRESPONDIENTES.
Suponga que se tienen tres rectas
de la manera indicada en el gráfico:

l1 , l2 y l3 ubicadas en el plano
l3

B
A

l1

D

C
E
F
G

l2

H

Los ángulos A , B , G y H se denominan Externos.
Los ángulos C , D , E y F se denominan Internos.
Los pares de ángulos:
•
•
108

CA

y
y

F , D y E se denominan Alternos Internos.
H , B y G se denominan Alternos Externos.

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Moisés Villena Muñoz

•

y F, C y
Correspondientes.

Ay E , B

G, D

y

H

se denominan

Si l1 , l 2 son paralelas ( l1 // l2 ) entonces los pares de ángulos
alternos internos, alternos externos y correspondientes son de igual
medida.
l3

A
C

B

l1

D

E
F
G

l2

H

Ejercicio Propuesto5.1
1. Si las rectas AB y CD son paralelas en el gráfico adjunto, determine la medida en radianes
Resp. x =

del ángulo ‘x’ y la medida del ángulo ‘y’.

π

6

, y=

2π
.
3

5.3 FIGURA PLANA
Todo subconjunto no vacío del plano se denomina FIGURA
PLANA.
5.3.1 Figura plana convexa

Sea F una figura plana cerrada. F es convexa si y sólo si
∀P1 ∈ F , ∀P2 ∈ F P1 P2 ⊆ F

[

]

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Una figura convexa sería:
P1
P2

Una figura no convexa podría ser
P1

P2

De aquí en adelante trataremos sólo con figuras convexas.
5.3.2 Puntos Colineales

Sean P1 , P2 y P3 tres puntos del plano. P1 , P2 y P3 son
colineales si y sólo si P1 ∈ P2 P3 o P2 ∈ P1 P3 o P3 ∈ P1 P2 .
En otros términos, se dice que los puntos son colineales si
pertenecen a una misma recta.
Si tenemospuntos no colineales, podemos formar una figura
plana cerrada trazando segmentos de rectas uniendo todos los puntos.
Esta figura, formada así, se convertirá en un importante objeto de
estudio.
5.3.3 Poligonal.

Sean P1 , P2 ,…, Pn , n puntos no colineales . Se denomina
POLIGONAL al conjunto de puntos que pertenecen a la unión
de los segmentos de rectas P1 P2 , P2 P3 ,…, Pn P1
P1
P8

P2

P3

P7

P6
110P4
P5

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La poligonal divide al plano en dos regiones: la interior a la
poligonal y la exterior a la poligonal.
5.3.4 Polígono.

Se denomina POLÏGONO al conjunto de punto que pertenecen
tanto a lo poligonal como a la región interior de la poligonal.

A los puntos

P1 , P2 ,…, Pn se los denomina vértices del
polígono. A los segmentos P1 P2 , P2 P3 ,…, Pn P1 selos denomina lados del
polígono. A los segmentos de rectas formados entre vértices no
consecutivos, se les denomina diagonales. A los ángulos P1 P 2 P3 ,

P2 P 3 P4 ,…, Pn−1 P n P1 se les denomina ángulos interiores.
Si los lados del polígono son de igual medida, se dice que es un
polígono regular; caso contrario se dice que es un polígono irregular.
5.3.4.1 Congruencia y semejanza de polígonosSean los polígonos P(P1 P2 " Pn ) y Q(Q1Q2 "Qn )
P2

Q2
P3

Q3

P1
P4
P5

Q1

Q4

Suponga que:
Q5
1. Los ángulos interiores, respectivamente, son de igual
medida. Y;
PP
PP
PP
2. 1 2 = 2 3 = " = n 1 = k
Q1Q2 Q2 Q3
Qn Q1
Entonces, si k = 1 se dice que los polígonos son
conguentes, caso contrario, es decir si k ≠ 1, se dice que los
polígono son semejantes.

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