violencia
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Publicado: 3 de junio de 2013
Rectas cortadas por una secante
Consideremos un sistema de dos rectas cortadas por una secante o transversal. En este caso tenemos, para cada intersección, un sistema de dos rectas que se cortan entre si, obteniendo de esta manera varios ángulos opuestos por el vértice y adyacentes, correspondientes a cada intersección. Pero también podemos clasificar los ángulos de acuerdo a la posición queocupan con respecto a los sistemas adyacentes.
Teorema.(Teorema directo) En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante, se tiene que
1. Los ángulos correspondientes son iguales
2 .Los ángulos alternos son iguales
3. Los ángulos colaterales son suplementarios
Debemos sobreentender que al decir ángulos iguales nos referimos a que son iguales entre sí; y demanera análoga para los ángulos complementarios.
Teorema.(Teorema inverso) En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta que haya
1. Un par de ángulos correspondientes iguales, o bien,
2.algún par de ángulos alternos iguales, o bien
3.algún par de ángulos colaterales suplementarios,
para que esas dos rectas sean paralelas.
Por lo tanto, cualquiera de las res alternativasmencionadas en el teorema 1.2.2 (Teorema inverso), implica los incisos 1,2 y 3 del teorema (1.2.1) (teorema directo).
Este par de teoremas aunque aparentemente inofensivo resultará muy importante pues se aplica en muchos resultados, como veremos a continuación.
Llamaremos triángulo al espacio limitado por tres rectas que se cortan.
Teorema .La suma de los tres ángulos interiores de cualquiertriángulo es igual a 180°.
Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera. Tracemos una recta paralela al segmento BC que pase por A.
Sabemos que D + A + E = 180°.Por lo tanto tenemos D= B por ser ángulos alternos internos, y por la misma razón E= C.
Sustituyendo los valores de D y E en la primera igualdad obtendremos el resultado.
Definición 1.2.1 Un ángulo exterior de untriángulo es el formado por el lado del triángulo y la prolongación de otro.
Corolario 1.2.4 En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores que no le son adyacentes, es decir que le son opuestos.
Demostración. Consideremos un triángulo cualquiera ABC.
Por el teorema (1.2.3) A + B + C = 180°; y como E + B = 180°, entonces E= A+ C.
Corolario .La suma delos tres ángulos exteriores (uno en cada vértice) de cualquier triángulo, es igual a 360°.
Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera.
Sean los ángulos exteriores D, E y F. Así, por el corolario (1.2.4), tenemos las siguientes identidades:
D = B+C,
E = A+C,
F = A +B,
de esta manera
D + E+ F= 2(A + B+ C)= 2(180°).
Por lo tanto
D + E+ F= 360°.TRIANGULO
Definición:
El Triángulo es un polígono que posee tres lados, y según la longitud de esos lados, el triángulo se clasificara en tres formas, la primera Equiláteros, cuando poseen sus tres lados iguales, el Isósceles, si poseen dos lados iguales y por ultimo Escaleno, si todos sus lados son diferentes. La suma de los tres ángulos de un Triángulo es de 180° independientementede la longitud de sus lados.
No olvidemos que el Triángulo recto cumple con una relación métrica entre sus lados, la cual es el teorema de Pitágoras, en la que reza que la Hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Por las longitudes de sus lados.
Clasificación de triángulos
Propiedades de los triángulos
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dosy mayor que su diferencia.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
Clasificación de triángulos:
Según sus lados.
Triángulo equilátero
Tres lados iguales
Triángulo isósceles
Dos lados iguales
Triángulo escaleno
Tres lados desiguales
Triángulo acutángulo
Tres ángulos...
Consideremos un sistema de dos rectas cortadas por una secante o transversal. En este caso tenemos, para cada intersección, un sistema de dos rectas que se cortan entre si, obteniendo de esta manera varios ángulos opuestos por el vértice y adyacentes, correspondientes a cada intersección. Pero también podemos clasificar los ángulos de acuerdo a la posición queocupan con respecto a los sistemas adyacentes.
Teorema.(Teorema directo) En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante, se tiene que
1. Los ángulos correspondientes son iguales
2 .Los ángulos alternos son iguales
3. Los ángulos colaterales son suplementarios
Debemos sobreentender que al decir ángulos iguales nos referimos a que son iguales entre sí; y demanera análoga para los ángulos complementarios.
Teorema.(Teorema inverso) En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta que haya
1. Un par de ángulos correspondientes iguales, o bien,
2.algún par de ángulos alternos iguales, o bien
3.algún par de ángulos colaterales suplementarios,
para que esas dos rectas sean paralelas.
Por lo tanto, cualquiera de las res alternativasmencionadas en el teorema 1.2.2 (Teorema inverso), implica los incisos 1,2 y 3 del teorema (1.2.1) (teorema directo).
Este par de teoremas aunque aparentemente inofensivo resultará muy importante pues se aplica en muchos resultados, como veremos a continuación.
Llamaremos triángulo al espacio limitado por tres rectas que se cortan.
Teorema .La suma de los tres ángulos interiores de cualquiertriángulo es igual a 180°.
Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera. Tracemos una recta paralela al segmento BC que pase por A.
Sabemos que D + A + E = 180°.Por lo tanto tenemos D= B por ser ángulos alternos internos, y por la misma razón E= C.
Sustituyendo los valores de D y E en la primera igualdad obtendremos el resultado.
Definición 1.2.1 Un ángulo exterior de untriángulo es el formado por el lado del triángulo y la prolongación de otro.
Corolario 1.2.4 En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores que no le son adyacentes, es decir que le son opuestos.
Demostración. Consideremos un triángulo cualquiera ABC.
Por el teorema (1.2.3) A + B + C = 180°; y como E + B = 180°, entonces E= A+ C.
Corolario .La suma delos tres ángulos exteriores (uno en cada vértice) de cualquier triángulo, es igual a 360°.
Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera.
Sean los ángulos exteriores D, E y F. Así, por el corolario (1.2.4), tenemos las siguientes identidades:
D = B+C,
E = A+C,
F = A +B,
de esta manera
D + E+ F= 2(A + B+ C)= 2(180°).
Por lo tanto
D + E+ F= 360°.TRIANGULO
Definición:
El Triángulo es un polígono que posee tres lados, y según la longitud de esos lados, el triángulo se clasificara en tres formas, la primera Equiláteros, cuando poseen sus tres lados iguales, el Isósceles, si poseen dos lados iguales y por ultimo Escaleno, si todos sus lados son diferentes. La suma de los tres ángulos de un Triángulo es de 180° independientementede la longitud de sus lados.
No olvidemos que el Triángulo recto cumple con una relación métrica entre sus lados, la cual es el teorema de Pitágoras, en la que reza que la Hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Por las longitudes de sus lados.
Clasificación de triángulos
Propiedades de los triángulos
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dosy mayor que su diferencia.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
Clasificación de triángulos:
Según sus lados.
Triángulo equilátero
Tres lados iguales
Triángulo isósceles
Dos lados iguales
Triángulo escaleno
Tres lados desiguales
Triángulo acutángulo
Tres ángulos...
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