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Cálculo de Volumen: El Método de Arandelas

El método de Arandelas o Washer, es una extensión del método de discos para sólidos huecos. Donde se tiene un radio interno r y un radio R externo de laarandela.







La integral que contiene el radio interno representa el volumen del hueco y se resta de la integral que contiene el radio externo.




El volumen viene dado por:Ejemplo 1:

Ejemplo 2
 Hallar el volumen del sólido resultante al hacer girar en el eje la figura encerrada por las curvas:



Para encontrar el área de un anillo:
tenemos que:Encontramos el volumen

calculamos para n-anillos y optimizamos.

Reescribimos como la integral variando de 0 a 1





Ejemplo 3
 Encontrar el volumen del sólido obtenido algirar la región limitada por las curvas alrededor del eje
-las curvas quedarían graficadas de la siguiente manera:


Siendo la curva roja y la azul .

Lo primero que debemos darnoscuenta es que, al girar la región sobre el eje , necesitamos tener las funciones respecto al eje y, para así encontrar los intervalos entre los puntos de intersección sobre el eje . En este ejemplo lasfunciones ya están despejadas para , ya que necesitamos una función que por cada valor de nos devuelva el valor correspondiente en , puesto que éste será nuestro radio para cada circunferencia quesumaremos.
Para encontrar los puntos de intersección realizamos lo siguiente:
igualamos:

despejamos:

obtenemos el punto de intersección de las 2 curvas sobre el eje y:
.
Con esto sabemosque el integral correría desde hasta .
Ahora construyamos el integral:
sabemos que hay dos curvas una sobre la otra, con la gráfica podemos darnos cuenta que está sobre , esto quiere decir queel volumen de un solo disco vendría dado por: .
Entonces, el volumen total del sólido sería:



Y expresado en una integral definida sería:




Resolviendo la...