Vivraciones

VIBRACIONES MECÁNICAS Y
DINÁMICA DE MÁQUINAS
CAPÍTULO 7

Ecuaciones rectoras y características de
la respuesta libre de sistemas de
múltiples grados de libertad
Departamento de Estructuras
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Universidad Nacional de Córdoba

Ecuaciones rectoras y características de la respuesta
libre de sistemas de múltiples grados de libertad
TEMAS DEESTUDIO
1.

Ecuaciones rectoras:
- Método de equilibrio de fuerzas y momentos.
- Ecuaciones de Lagrange de movimiento.

2.

Sistemas sin amortiguamiento:
- Frecuencias naturales y formas modales.
- Propiedades de las formas modales.

3.

Sistemas con amortiguamiento viscoso: parámetros modales.

4.

Principio de conservación de la energía.

5.

Estabilidad de sistemas demúltiples grados de libertad.

Ecuaciones rectoras y características de la respuesta
libre de sistemas de múltiples grados de libertad
GENERALIDADES
•

La cantidad de grados de libertad (GL) dinámicos depende tanto de
los elementos de inercia, así como también de los elementos de disipación presentes en el sistema (considerar el modelo de Maxwell).

•

Las restricciones impuestas en elsistema reducen la cantidad de GL.

•

La cantidad de autovalores del sistema resulta igual al doble de los GL
con inercia asociada, más los GL sólo con elementos de disipación.

•

La disipación de los sistemas se representa en este capítulo exclusivamente a través de modelos de amortiguamiento viscoso.

•

La respuesta del sistema puede describirse en forma conveniente en
función deparámetros modales. El método de descomposición modal
permite expresar la respuesta de un sistema de múltiples grados de
libertad combinando las respuestas de osciladores simples.

Ecuaciones rectoras
Método de equilibrio de fuerzas

Se asume x2 > x1 !!!

Las coordenadas generalizadas x1 y x2 especifican las posiciones de las masas m1 y m2 respecto
al extremo fijo izquierdo. Equilibriode fuerzas sobre la masa m1 en dirección horizontal i:

Ecuaciones diferenciales expresadas en forma matricial (matrices simétricas):

Notar que los elementos k2 y c2 “acoplan” física y matemáticamente ambos grados de libertad.

Ecuaciones rectoras
Método de equilibrio de momentos

Sólo el elemento kt2 produce
el acoplamiento del sistema.

Se asume f1 > f2 !!!

Las coordenadasgeneralizadas f1 y f2 representan las rotaciones de dos volantes de inercia
rotatoria Jo1 y Jo2, respectivamente, con respecto al eje k. La inercia de las flechas se asume
despreciable y los volantes se encuentran sumergidos en cajas llenas de aceite.

J o1f1  ct1f1  kt1f1  kt 2 f1  f2   M o  t 
J f  c f  k f  f   0
o2 2

t2 2

t2

2

1

Ecuaciones diferencialesexpresadas en forma matricial (surgen matrices simétricas):

 J o1
 0


0  f1   ct1 0  f1   kt1  kt 2
 
 
J o 2  f2   0 ct 2  f2   kt 2

kt 2  f1   M o  t  
 

kt 2  f2   0 

Ecuaciones rectoras
Viga rígida con movimiento de rebote y cabeceo
Desplazamientos en
el extremo por giros:

L1 sin q

; L2 sin q

Velocidades enel
extremo por giros:

L1q cos q

; L2q cos q

Brazos de palanca
para momentos:

L1 cos q

; L2 cos q

Las coordenadas generalizadas y y q se ubican en el centro de gravedad de la viga. En este
caso, deben utilizarse tanto equilibrio de fuerzas como de momentos respecto al centroide G:

my   c1  c2  y   c1L1  c2 L2  q cos q   k1  k2  y   k1L1  k2 L2  sin q  mg
J Gq   c1 L1  c2 L2  y cos q  c1L12  c2 L22 q cos 2 q   k1L1  k2 L2  y cos q  k1L12  k2 L22 sin q cos q  0









Estas ecuaciones no lineales por las funciones trigonométricas se linealizan para pequeñas
oscilaciones asumiendo sin q  q y cos q  1, y que la posición de equilibrio estático es “casi
horizontal”. La forma matricial respecto a la posición...