Volcán Manua-Loa

La altura del volcán hawaiano Mauna Loa se describe (aproximadamente) mediante la función:
h(x,y)=max(0;min(2,59-0,00024y2-0,00065x2;2,47+0,00024y2+0,00065x2))
donde h es la altura sobre el nivel del mar en millas y x e y miden las distancias este-oeste y norte-sur,
respectivamente, en millas, a partir de la proyección al nivel del mar del centro del fondo del cráter, que será nuestro
centrode referencia.
El “Kona International airport” en Keahole se encuentra a 50 millas al oeste y 20 millas al norte de nuestro centro de
referencia. El gobernador de Hawai quiere construir unas vías de tren que permitan el transporte de viajeros desde el
aeropuerto hasta el borde del cráter del volcán, donde pretende construir un observatorio. Para dicho fin a contratado
una empresa de ingenierosciviles que han observado que para que la obra se lleve a cabo, y el tren pueda ascender no
es conveniente que el desnivel de la vía no sobrepase el 3% de inclinación;
A- Representar gráficamente el volcán.
Lo que tenemos que hacer en este apartado es representar en matlab la superficie de volcán. Para ello, tenemos que
tener en cuenta que la función que nos dan se compone de dos expresiones;Expr1=2,59-0,00024y2-0,00065x2
Expr2=2,47+0,00024y2+0,00065x2
Por tanto, tendremos que generar un mallado de la superficie mediante el comando meshgrid de la siguiente forma:
>> u=-120:5:120;
>> v=-120:5:120;
>> [x,y]=meshgrid(u,v);
>> expr1=2.59-0.00024*y.^2-0.00065*x.^2;
>> expr2=2.47+0.00024*y.^2+0.00065*x.^2;
>> h=max(0,min(expr1,expr2));
>> surf(x,y,h)
- Los vectores u y v indicanel tamaño del plano a generar.
- Con meshgrid generamos la superficie proporcional a u y v.
- Las siguientes instrucciones consisten en introducir las dos
expresiones generar una función h que es la que viene en el
enunciado.
-Por último con el comando surf generamos la figura del
volcán que viene dada por las expresiones.

B-Obtener y representar las curvas de nivel correspondientes aλ=1;λ=2;λ=2,5 ¿Qué se observa?
El comando de matlab que nos permite generar curvas de nivel en el espacio es el comando contour3. basta con
introducir éste comando junto con los ejes coordenados y los valores de λ.
>> contour3(x,y,h,[1,2,2.5])
-Se observa claramente que la curva de nivel λ=1
representa el inicio de la subida del volcán, la curva de
nivel λ=2 representa la parte intermedia, yla curva
λ=2,5 representa el borde de la cima del volcán.

C-Calcular el camino mas corto por el que se puede llegar a la cima del cráter.
Para calcular el camino mas corto entre el aeropuerto y el centro de observación, teniendo en cuenta que el desnivel
acumulado no puede ser mas de un 3%, tendremos que hacer una espiral, teniendo en cuenta el punto de origen, que
es el aeropuerto y puntodonde se va a hacer el observatorio. Éste punto nos lo da el enunciado y sería el punto [50,20].
La ecuación de una espiral viene dada por la expresión:
X=a*cos(θ)+b*cos(θ)
Y=a*sin(θ)+b*sin(θ)
Por lo tanto, los comando que tendremos que introducir son los siguientes:
>> syms x % Genera una hélice alrededor del eje X
>> syms y % Genera una hélice alrededor del eje Y
>> t=(-1/8)*pi:pi/20:3*pi;% Con el vector t, indicamos el cominenzo y el final de la hélice
>> x=-52.0835*cos(t)+4.6470*t.*cos(t); % Introducimos las coordenadas de la componente X
>> y=-52.0835*sin(t)+4.6470*t.*sin(t); % Introducimos las coordenadas de la componente Y
>> e1=2.59-0.00024*y.^2-0.00065*x.^2; % Introducimos la expresión 1
>> e2=2.47+0.00024*y.^2+0.00065*x.^2; % Introducimos la expresión 2
>>h=max(0,min(e1,e2)); % Introducimos lo que vale h
>> plot3(x,y,h) % Dibuja la hélice solicitada

Y así obtendríamos la distancia mas corta, teniendo en cuenta las restricciones.

D-Obtener el punto respecto del origen de coordenadas del lugar donde el gobernador pondrá la primera
piedra conmemorativa del inicio de las obras del observatorio.
Éste punto viene dado prácticamente en el enunciado. Si...