Volumen De La Esfera

ARQUÍMEDES Y EL VOLUMEN DE LA ESFERA A PARTIR DE UN CILINDRO
 
 
        Muchos conocen al sabio Arquímedes, especialmente por las palancas. El cálculo del volumen de la esfera fue uno de losdescubrimientos que Arquímedes más estimaba de todos los que hizo en su vida. Llegó a demostrar de un modo muy original que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circularcircunscrito a ella. Tanto le impresionó esto a él mismo (tal vez porque en ese entonces se hablaba de los cuerpos perfectos) que mandó que en su tumba se grabase esta figura en recuerdo de la mejorde sus ideas.   
        Veamos cómo llegó a este interesante descubrimiento. Arquímedes se imaginó una semiesfera y junto a ella un cilindro circular recto y un cono recto, ambos de base igual a uncírculo máximo de la semiesfera. Algo parecido al dibujo que te mostramos 

  
Arquímedes cortó las tres figuras por un plano paralelo a la base del cilindro y el cono y se preguntó cómo serían lassecciones determinadas por este plano en cilindro, semiesfera y cono. 
  
        En el cilindro se obtiene un círculo de radio R (no olvides que el radio es la mitad del diámetro d). En la esferatambién será un círculo, pero su radio dependerá de la distancia d. Mirando la figura siguiente y acordándote del teorema de Pitágoras, fácilmente puedes escribir que si el radio de la sección es r,entonces r2 + d2=R2. 
En el cono la sección también será un círculo y ahora el radio es aún más fácil de determinar mirando a la figura siguiente 
Como el radio de apertura del cono es de 45º,resulta que el radio es d. Así
Sección cilindro = R2 = (r2 + d2) = r2 + d2 =Sección semiesfera + Sección cono . Las secciones son como rebanadas de las tres figuras obtenidas cortando paralelamente ala base del cilindro. Resulta que, colocando las tres figuras como las hemos puesto y cortándolas en rebanadas finas tendremos 
Rebanada en cilindro a altura d = Rebanada en semiesfera + Rebanada en...