Volumen por el metodo de las capas

PROYECTO DE CALCULO II
 Tema: Volumen por el
Método de las Capas
 Hernández Salinas
Yair
 Grupo:9

Volumen de un sólido
de revolución por el
método de capas
(cascarones
cilíndricos)
INTRODUCCION

Cebollas y troncos de madera.
El método de cálculo integral que se explica en
este proyecto, el de los casquetes cilíndricos,
proporciona una forma alternativa de calcular
volúmenes de sólidos derevolución. En ciertos
casos es el único método viable porque el de
las secciones transversales puede resultar a
veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en
absoluto.

 Piénsese, por ejemplo,
en el problema de hallar
el volumen del sólido de
revolución que se genera
al hacer girar sobre el eje
y la región que está
comprendida, en el
primer cuadrante, entre
la curva y = −x3 + 4x2 −
3x + 1 y lavertical x = 3
(Animación 1).

A primera vista puede parecer que el método
más adecuado para este cálculo consiste en
hacer
repetidas
secciones
transversales
horizontales del sólido −tajarlo por decirlo así−
y en integrar luego los volúmenes de todos los
trozos. Sin embargo, se presentan varias
dificultades. La primera está en que las
secciones transversales son, en unas zonas del
sólido, discoscompletos y, en otras, arandelas,
es decir, discos con hueco. Esto conduce a tener
que dividir la región de integración en varias
subregiones, lo que resulta algo engorroso.

Figura 1

 Pero por otra parte,
para plantear la
integral es necesario
expresar tanto el
radio de los discos
como
el
radio
interior y exterior de
las arandelas en
función
de
la
variable y, lo que no
es fácil de lograr eneste caso (Figura 1).

Figura 1

 En cambio, el método de los casquetes
cilíndricos funciona muy bien en esta
situación. Básicamente consiste en dividir
el sólido de revolución en una serie de
casquetes cilíndricos que se incrustan unos
dentro de otros y en integrar luego los
volúmenes de estos casquetes para obtener
el volumen total. En la Figura 2 se puede
ver cómo se van agregando y se vanretirando sucesivamente estos elementos y
cómo se produce el sólido de revolución.

Figura 2

 Es por esto por lo que a este método se
le conoce también como el método de
las "capas", las "envolturas", las
"envolventes" o los "cascarones"
cilíndricos.

Pero antes de entrar en detalles es importante
entender bien la estructura geométrica que está
involucrada en este método. Quizás resulte útilpensar en objetos cotidianos que presentan la
misma configuración. El primero que viene a la
mente es posiblemente un trozo de cebolla pues
es bien conocido el hecho de que en su interior
los tejidos de un trozo de este vegetal están
dispuestos en una serie de capas más o menos
cilíndricas que, cuando se cortan
transversalmente y se sirven en las ensaladas,
forman los característicos "anillos" de lacebolla (
Figura 2).

Figura 2
 

 También puede resultar útil pensar en la estructura
interna de un tronco de árbol pues ésta consiste en
una serie de casquetes, hechos de distintas clases
de madera, aproximadamente cilíndricos, que en
los cortes transversales se ven como una serie de
anillos de diferente color (Figura 3).

Figura 3

 Según los biólogos, al contar estos anillos se
puedeestablecer la edad de los árboles pues
sus troncos no crecen a lo alto, excepto en su
parte superior, sino a lo ancho. La única parte
de los troncos encargada del crecimiento es
una fina capa que los rodea, llamada
cámbium.

En los árboles de las zonas de clima templado,
el crecimiento no es constante y como la
madera que produce el cámbium en primavera
y en verano es más porosa y de un color más
claroque la producida en invierno, de ello
resulta que el tronco del árbol está compuesto
por un par de anillos concéntricos nuevos cada
año, uno más claro que el otro.

Planteamiento general

El método de los
casquetes cilíndricos.

Figura 4

 Para comenzar a
entender en detalle el
método de los
casquetes cilíndricos
debemos establecer
cómo calcular el
volumen V de un
casquete cilíndrico de...