Volumenes De Revolucion

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Volumenes de solidos de revolucion
1.

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SOLIDO DE REVOLUCION

Un s´lido de revoluci´n est´ generado por la rotaci´n de un ´rea plana alrededor de una recta del plano o eje de
o
o
a
oa
revoluci´n. El volumen de un s´lido de revoluci´n se puede hallar por uno de los siguientes procedimientos:
o
o
o
1. M´todo de Discos
e

2.

2. M´todo de Anillos o arandelas
e

3.M´todo de Cascarones
e

´
VOLUMEN DE UN SOLIDO

El volumen de un s´lido de ´rea de secci´n transversal integrable conocida A(x) desde x = a hasta x = b, es la integral
o
a
o
de A desde a hastab,
b

V=

A(x)dx.
a

3.

´
´
PASOS PARA EL CALCULO DEL VOLUMEN DE UN SOLIDO

1. Bosqueje el s´lido y una secci´n transversal representativa.
o
o
2. Determine una f´rmula para A(x), el´rea de una secci´n transversal representativa.
o
a
o
3. Determine los l´
ımites de integraci´n.
o
4. Integre A(x) por medio del Teorema Fundamental del C´lculo.
a

4.

EJERCICIOS

1. Laregi´n limitada por las curvas dadas se hace girar alrededor del eje x. Halle el volumen generado en cada caso:
o
√

d) y = x4 y y = x. (Anillos)
√
e) y = 3 x y y = x. (Anillos)

g) y = x2 y y= 2x − 1, y = 4. (Anillos)
√
h) y = 1 − x2 y y = 1 − x. (Anillos)
√
i) y = x, x = 4. (Cascarones)
1
j) y =
, x = 0, x = 1. (Cascarones)
1 + x2
k) y = x4 , y = x. (Cascarones)

f) y = 4 −x2 y y = 6 − 3x. (Anillos)

l) y = 4 − x2 y y = 6 − 3x. (Cascarones)

a) y =

x, x = 4. (Discos)
1
b) y = √
x = 1 y x = −1.(Discos)
1 + x2
c) y = x − x2 y y = 0.(Discos)

2. La regi´nlimitada por las curvas dadas se hace girar alrededor del eje y . Halle el volumen generado en cada caso:
o
a) y = x2 , x = 2 y el eje x.(Anillos)

c) y = x3 , y = 1, eje y . (Cascarones)

b) y = x− 1 y y = x − 3, y = −1, y = 1. (Anillos)

d) y = x − 1, y = x − 3, y = 0, y = −1. (Cascarones)

3. Calcule el √
volumen del s´lido de revoluci´n generado al girar alrededor de la recta...