Volumenes De Solidos De Revolucion

VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Método del disco circular
a) La región limitada por la grafica de y=Fx, x=a, x=b, y=0 se hace rotar alrededor del eje de las abscisas. Calcule el volumen delsolido de revolución que se origina.
Veamos:
a
b
x
y

y=Fx
a
b
x
y
 
y=Fx
 

 
 
 
 
 
Fx
z
Fig. a
Fig. b
a
b
x
y

y=Fx
a
b
x
y
 
y=Fx
 

 
 
 
 
 
Fx
zFig. a
Fig. b

De la figura b:
dx
Fx
 

dV=πF2(x)dx
→VS=πabF2(x)dx

dx
Fx
 
dV=πF2(x)dx
→VS=πabF2(x)dx

b) R: x=Gy, y=c, y=d, x=0 ; eje de rotación: L: x=0. Hallar el volumen delsólido de revolución que se origina.
y
Gy
dy
 
 
d
c
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x=Gy
dV=πG2(y)dy
→VS=πcdG2(y)dy
 
Luego:
y
Gy
dy
 
 
d
c
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x=GydV=πG2(y)dy
→VS=πcdG2(y)dy
 
Luego:

c) La región limitada por la grafica de: y=Fx, y=Gx, x=a, x=b, Gx< Fx; se hace rotar alrrededor de y=k (eje de rotacion: y=k<0).Hallar el volumen delsólido de revolución que se genera.
dx
a
b
y=Fx
y=Gx
r=Gx-k
R=Fx-k
k
 
 
dV1=πGx-k2dx
dV1=πFx-k2dx
 
dx
a
b
y=Fx
y=Gx
r=Gx-k
R=Fx-k
k
 
 
dV1=πGx-k2dx
dV1=πFx-k2dx
 

Delgráfico:
dV1=πFx-k2dx
dV1=πGx-k2dx
→dV1=πFx-k2-Gx-k2dx
∴VS=πcdπFx-k2-Gx-k2dx

Problemas:
1) La región limitada por y=x+4x , con asíntota oblicua; x=1,x=4; se hace rotar alrededor del eje x.encuentre el volumen del sólido de revolución que se origina.
Solución:
y=x+4x
y,=1-4x2 ↔ y,,=8x3
y,=0=x2-4x2 x=2→y,,2=1;mínimox=-2→y,,-2=-1;máximo
ymin=4; ymax=-4
Asíntota:m=limn→±∞F(x)x=limn→±∞1+4x2=1

b=limn→±∞Fx-x=m=limn→±∞x+4x-x=0
Luego:
y=mx+b →y=x
1
4
2
-2
R=x+4x
y=x
x
y
r=x
 
 
 
dV=πx+4x2- x2dx
Vs=π14x+4x2- x2dx
Vs=π14x2+8+16x2- x2dx
Vs=π148+16x2dx=π8x+16x41∴Vs=36π u3
1
4
2
-2
R=x+4x
y=x
x
y
r=x
 
 
 
dV=πx+4x2- x2dx
Vs=π14x+4x2- x2dx
Vs=π14x2+8+16x2- x2dx
Vs=π148+16x2dx=π8x+16x41
∴Vs=36π u3

2) La región limitada por las...