Volumenes Integrales

|Volúmenes de sólidos de secciones transversales conocidas |


Cuando en los volúmenes de revolución se rotó alrededor del eje [pic]laregión plana limitada por la curva [pic]el eje [pic]las rectas [pic]y [pic]se llegó a [pic]donde la expresión [pic]se puede interpretar como el área de la sección transversal del sólido hecha por unplano perpendicular al eje [pic]a una distancia de [pic]unidades con respecto al origen; esta área de la sección es la de una circunferencia. Si ahora la sección transversal tiene un área [pic]se puedeutilizar el mismo principio para decir el volumen estará dado por
[pic]
Ejemplo 1:La base de cierto sólido es la parábola [pic][pic]Las secciones
transversales perpendiculares al eje [pic]sontriángulos equiláteros; encontrar
el volumen del sólido.
La base del triángulo será [pic]. Por ser el triángulo equilátero [pic]

El área de un triángulo es [pic]y la sección transversal tiene unvolumen [pic]para lo cual [pic]va de [pic]a [pic], con lo cual [pic]
Ejemplo 2: Calcular el volumen de una pirámide de base rectangular de dimensiones [pic]y [pic]y de altura [pic].
Se podría tomar elorigen del sistema en el centro del rectángulo, la altura se mide sobre el eje [pic]con lo cual las secciones tranversales perpendiculares esta vez al eje [pic]son rectángulos de lados [pic]y [pic]elvolumen de una tajada tomada así es [pic]Para poder expresar x en términos de [pic]se usa semejanza de triángulos donde [pic]
[pic]
[pic]
que corresponde a la fórmula geométrica [pic]Area de labase)(altura)
También se pude tomar el vértice de la pirámide en el origen , la altura medida sobre el eje [pic], el centro de los rectángulos queda sobre el eje [pic]y las secciones perpendiculares aleje [pic]son
rectángulos de lados [pic]y [pic]; el volumen de una sección transversal es [pic]
Para expresar [pic]en términos de [pic], se usan triángulos semejantes con [pic]con lo cual [pic]...