Volumenes

Unidad VI
Aplicaciones de la integral definida
6.1 volúmenes de sólidos con los métodos de rebanadas, disco y anillos.

VOLÚMENES POR REBANADAS
Cuando analizamos el método de los discos para hallar el volumen de un sólido, llegamos a la formula:
donde , era el área de la sección circular y x el espesor del disco.
Ahora podemos generalizar este método, para calcular el volumen de sólidoscon forma arbitraria, si conocemos el área de una de sus secciones. Por ejemplo si A(x), representa el área de una sección en x, perpendicular al eje x, entonces el volumen del sólido se obtendrá integrando A(x) con respecto a x.

Gráfica 10.
Por ejemplo en la Gráfica 10, encontramos un sólido cuyas secciones transversales son triángulos, de manera que si calculamos el área de uno de esostriángulos diferenciales y la integramos con respecto a x, encontramos el volumen total del sólido, es decir:
y de esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier sólido, siempre que conozcamos un elemento diferencial y la formula para hallar su área.

Parte Volumen método de discos
Otra aplicación importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólidotridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución. El más simple de elloses el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo como se muestra en la figura. El volumen de este disco es
Volumen del disco = R2w
Donde R es el radio del disco y w es la anchura.
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, considérese el sólido derevolución obtenido al girar la región plana de la figura alrededor del eje indicado. Para calcular el volumen de este sólido, consideremos un rectángulo representativo en la región plana. Cuando se gira este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es
V = R2 x
Si aproximamos el volumen de un sólido por n de tales discos de anchura x y de radio R(xi),tenemos
n n
Volumen del sólido “ “ [R(xi)]2 x = “[R(xi)]2 x i=1 i=1
Tomando el límite |||| ! 0 (n! “), tenemos n
Volumen de un sólido = lim “ [R(xi)]2 x =
[R(x)]2 dx
n =“ i=1
Esquemáticamente, representamos el método de discos:
Fórmula vista Elemento Nueva fórmula
En precálculo Representativo de integración
Ejemplo 2.1
Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitadapor la gráfica de f(x) = y el eje x(0 “ x “ ) alrededor del eje x.
Solución: Se observa que el radio de este sólido viene dado por:
R(x) = f(x) =
Y se sigue que su volumen es:
V= [R(x)]2 dx = dx = dx = - cos x = (1+1) =2

MÉTODO DE LOS ANILLOS
El objetivo de este método es el de hallar una expresión para el volumen del sólido de revolución generado por la región R, pero ahora al rotar entorno al eje y
Supongamos que una función continua y
Una división arbitraria del intervalo (a, b) consideremos la partición intermedia en donde TK es el punto medio del subintervalo .Esto es

Consideremos el rectángulo de base y altura .Si hacemos rotar este rectángulo en torno al eje y claramente se forma un anillo cuyovolumen esta dado por :



La suma de todos estos anillos corresponde a la suma de Riemann de la función .Por consiguiente se sigue que si la norma de la partición P tiende a cero , la suma de los volúmenes de todos los anillos es necesariamente :

6.2 volumenes de solidos con el método de capas cilíndricas
MÉTODO DE CORTEZAS Ó CAPAS CILÍNDRICAS:
Supongamos que se quiere rotar la...