Volumentes Finitos

METODO DE LOS VOLUMENES FINITOS
CI71D MODELACION NUMERICA EN INGENIERIA HIDRAULICA Y AMBIENTAL
Prof. Y. Ni˜o
n
Sem. Primavera 2002

1

Introducci´n
o

El m´todo de los vol´menes de control finitos permite discretizar y resolver num´ricamente ecuae
u
e
ciones diferenciales. Es un m´todo alternativo a los de diferencias finitas y elementos finitos.
e
Consideremos una malla dediscretizaci´n del espacio fluido. En torno a cada punto de esta
o
malla se construye un volumen de control que no se traslapa con los de los puntos vecinos. De
esta forma el volumen total de fluido resulta ser igual a la suma de los vol´menes de control
u
considerados. La ecuaci´n diferencial a resolver se integra sobre cada volumen de control, lo cual
o
entrega como resultado una versi´ndiscretizada de dicha ecuaci´n. Para realizar la integraci´n se
o
o
o
requiere especificar perfiles de variaci´n de la variable dependiente entre los puntos de la malla, de
o
modo de poder evaluar las integrales resultantes. La principal propiedad del sistema de ecuaciones
discretizadas resultante, es que la soluci´n obtenida satisface en forma exacta las ecuaciones de
o
conservaci´n consideradas,independientemente del tama˜o de la malla.
o
n

2

Ejemplo ilustrativo

Consideremos la ecuaci´n de conducci´n de calor unidimensional permanente:
o
o
dT
d
(K
)+S = 0
(1)
dx
dx
donde K es el coeficiente de conducci´n t´rmica, T es la temperatura y S es un t´rmino fuente que
oe
e
en este caso representa la tasa de generaci´n de calor por unidad de volumen.
o
Para ladiscretizaci´n mostrada en la Fig. 1 se tiene el punto P de la malla, el cual tiene como
o
vecinos los puntos W (a la izquierda, es decir en la direcci´n de −x) y E (a la derecha, es decir, en
o
la direcci´n de x). La distancia entre W y P es (δx)w , la distancia entre P y E es (δx)e . Entre los
o
puntos W y P se encuentra el punto w que corresponde al l´
ımite izquierdo del volumen de controlconstruido en torno a P . Entre los puntos P y E se encuentra el punto e que corresponde al l´
ımite
derecho del volumen de control considerado. La distancia entre w y e es ∆x. Como este es un
problema unidimensional, el volumen de control tiene dimensiones: ∆x × 1 × 1.
Integrando la ecuaci´n (1) en el volumen de control considerado, se tiene:
o
e
w

¯
Definiendo S ∆x =

e
w

d
dT
(K
) dx+
dx
dx

e

S dx = 0
w

S dx, la ecuaci´n anterior se reduce a:
o
1

(2)

CI71D

Modelaci´n Num´rica en Ingenier´ Hidr´ulica y Ambiental
o
e
ıa
a

(δx) w

(δx) e

w

W

e

P

E

x

∆x

Figura 1: Malla de discretizaci´n por vol´menes finitos.
o
u

dT
dT
¯
)e − (K
)w + S ∆x = 0
(3)
dx
dx
Para evaluar las derivadas de T en los puntos w y e, serequiere hacer una suposici´n respecto
o
de la variaci´n de T en el volumen de control. Por ejemplo en la Fig. 2 se muestran dos simples
o
suposiciones posibles: paso constante (stepwise) y paso lineal (piecewise linear). Es claro que la
suposici´n de paso constante no es buena ya que las derivadas en los puntos w y e no est´n definidas.
o
a
Desde ese punto de vista la suposici´n m´s simple quepermite evaluar las derivadas en w y e es la
o
a
de paso lineal. En ese caso dichas derivadas valen:
(K

(K
(K

dT
TP − TW
)w = Kw
dx
(δx)w

(4)

dT
TE − TP
)e = K e
dx
(δx)e

(5)

Reemplazando estos resultados en (3), se obtiene:
Ke

TE − TP
TP − TW
¯
− Kw
+ S ∆x = 0
(δx)e
(δx)w

(6)

ecuaci´n que puede simplificarse para llegar a:
o
aP TP = aE TE + aW TW +b

(7)

donde:
aE =

Ke
Kw
¯
; aW =
; aP = aE + aW ; b = S ∆x
(δx)e
(δx)w

Esta ecuaci´n indica que la temperatura en P puede expresarse en funci´n de la temperatura en
o
o
los puntos vecinos W y E . Es f´cil ver que una extensi´n de este an´lisis a dos o tres dimensiones,
a
o
a
permite escribir:
aP TP =

ai T i + b

(8)

i

donde i es un sub´
ındice que...