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GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO
EJERCICIOS RESUELTOS Demuestra que si v y w son vectores linealmente independientes entonces v + w y v – w son linealmente independientes. Para demostrarlo, veamos que dada una combinación lineal de ellos igualada al vector nulo, se cumple que los escalares son nulos. x · ( v + w ) + y · ( v – w ) = 0 ⇒ (x + y) v + (x – y) w = 0 x + y = 0 Como v y w sonlinealmente independientes por hipótesis, entonces se debe cumplir  x − y = 0 Resolviendo el sistema se llega a que x = y = 0, y por tanto los vectores v + w y v – w son linealmente independientes. Prueba que los vectores u = (–1, 1, 1), v = (1, –1, 1) y w = (1, 1, –1) forman una base de 3. Determina las coordenadas del vector (2, 4, –2) en dicha base. 1 −1 1   El determinante de la matriz A =  1 −1 1  es det (A) = 4. Al ser distinto de cero, los vectores 1 1 − 1  
u , v y w forman una base de 3. Las coordenadas del vector (2, 4, –2) respecto a la base formada por los vectores u , v y w , son números a, b y c, que cumplen la igualdad (2, 4, –2) = a u + b v + c w . − a + b + c = 2  Operando sobre la igualdad anterior, se obtiene el sistema a − b + c = 4 , cuya solución es a = 1, a+ b − c = −2  b = 0 y c = 3, que son las coordenadas buscadas: (2, 4, –2) = 1 u + 0 v + 3 w = u + 3 w .

Dados los vectores u = (2, 1, 0) y v = (–1, 0, 1), halla un vector unitario w que sea coplanario con u y v , y ortogonal a v . Un vector que sea coplanario con u y v es una combinación lineal de ellos, por ejemplo el vector t = u + λ v = (2, 1, 0) + λ (–1, 0, 1) = (2 – λ, 1, λ) Como dichovector tiene que ser perpendicular a v su producto escalar ha de ser cero, es decir: t · v = 0 ⇒ (2 – λ, 1, λ) · (–1, 0, 1) = – 2 + λ + 0 + λ = – 2 + 2 λ = 0 de donde se deduce que λ = 1. Por tanto un vector coplanario con u y v , y además perpendicular a v es: t = (2 – 1, 1, 1) = (1, 1, 1) Como también nos piden que sea unitario, dividimos el vector anterior entre su módulo y obtenemos el vectorbuscado: t  1 1 1  || t || = 1 + 1 + 1 = 3 ⇒ w = = , ,  || t ||  3 3 3  Otro vector, con las mismas características sería: t  −1 −1 −1 –w = − = , ,  || t ||  3 3 3 

Determina los valores de a para los cuales resultan linealmente dependientes los vectores (–2, a, a), (a, –2, a) y (a, a, –2). Obtén, en estos casos, la relación de dependencia entre los vectores. a  − 2 a   Eldeterminante de la matriz A =  a − 2 a  es det (A) = 2a3 + 6a2 – 8 = 2 (a – 1) (a + 2)2.  a a − 2  

Los vectores son linealmente dependientes para los valores que anulan el determinante anterior, es decir, para a = 1 y a = –2. En el caso a = 1, la relación de dependencia entre los vectores es, por ejemplo: (1, 1, –2) = – (–2, 1, 1) – (1, –2, 1) En el caso a = –2, los tres vectores son iguales.Sean los vectores u = (–1, 2, 3), v = (2, 5, –2), x = (4, 1, 3) y z = (4, 1, –8). a) ¿Se puede expresar x como combinación lineal de u y v ? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué. b) ¿Se puede expresar z como combinación lineal de u y v ? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué. c) ¿Son u , v y z linealmente independientes?Justifica la respuesta. a) x se puede poner como combinación lineal de u y v si det ( x , u , v ) = 0, esto es, si los tres vectores son linealmente dependientes. Veámoslo: 4 1 3 det ( x , u , v ) = −1 2 3 = –99 ≠ 0 2 5 −2

Luego x no se puede poner como combinación lineal de u y v . b) z es combinación lineal de u y v si det (z, u , v ) = 0, esto es, si los tres vectores son linealmentedependientes. Veámoslo: 4 1 −8 det ( z , u , v ) = −1 2 3 = 0 2 5 −2 Luego z se puede poner como combinación lineal de u y v . Por tanto: z = au + bv Desarrollando: (4, 1, –8) = a (–1, 2, 3) + b (2, 5, –2) ⇒ (4, 1, –8) = (–a + 2b, 2a + 5b, 3a – 2b) Igualando tenemos el siguiente sistema: 4 = − a + 2b  1 = 2a + 5b  −8 = 3a − 2b Como son linealmente dependientes el determinante de la matriz de los...