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Métodos de RUNGE-KUTTA
La solución de una ecuación diferencial por la aplicación directa de la serie de Taylor no es un método práctico, y el algoritmo de Euler, aunque sencillo, es poco exacto.Afortunadamente es posible deducir algoritmos de paso simple que involucran solo el cálculo de derivadas de primer orden, pero con resultados con exactitud equivalente a la aplicación de formulas deTaylor de orden superior.
Podemos generalizar la formula de Runge-Kutta de la siguiente forma:
Yi+1=yi+Ф (xi,yi,h)h
Donde Ф (xi,yi,h) se le llama función incremento, la cual la vamos a representar dela siguiente manera.
Ф=a1k1+a2k2+…+ankn
Donde las a´s son constantes y las k´s son variables
K1=f (xi,yi)
K2=f (xi+p1h, yi+q11k1h)
K3=f (xi+p2h, yi+q21k1h+q22k2h)
…..
Kn=f (xi+pn-1 h, yi+qn-1,1k1h+qn-1,2 k2h+…+qn-1,n-1 kn-1 h)
Donde las p´s y las q´s son constantes. Observe que las k´s reaparecen en las relaciones, esto quiere decir que la k1 aparece en k2, la cual aparece en k3.Segundo orden
El método de segundo orden tiene la siguiente forma
Yi+1=yi+ (a1k1+a2k2) h
Donde
K1=f (xi,yi)
K2=f (xi+p1h, yi+q11k1h)
Las a2´s tomaran distintos valores según el método que se utilice.*Método de Heun (a2=1/2). Si asumimos que p1 y q11 son igual 1, obtenemos que:
Yi+1=yi+ (k1/2+k2/2) h
Donde
K1=f (xi,yi)
K2=f (xi+h, yi+k1h)
*Método del punto medio (a2=1) si asumimos que a1=0 yp1=q11=1/2 entonces obtenemos la siguiente ecuación:
Yi+1=yi+ k2h
Donde
K1=f (xi,yi)
K2=f (xi+½h, yi+½k1h)
*Método de Ralston (a2=2/3). Para esta versión vamos a suponer que a1=1/3 y p1=q11=3/4:Yi+1=yi+ (1/3k1+2/3k2) h
Donde
K1=f (xi,yi)
K2=f (xi+¾h, yi+¾k1h)

Método de Runge-Kutta de tercer orden.
Para n=3, se puede realizar una derivada similar a la del método de segundo orden. Elresultado de esta derivada son 6 ecuaciones con 8 incógnitas. Por lo tanto 2 de esas incógnitas deberán especificarse para poder determinar los parámetros restantes. Lo cual lo podemos expresar...