W20150824135038510 7000502745 09 01 2015 200750 Pm S1 1 14 Limite De Una Funci N 2015 I

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

El concepto de límite de una función es básico en el estudio del cálculo diferencial; el cual origina el estudio del cálculo del valor de una función en la proximidad de un número.

1. IDEA INTUITIVA
Considere la función f definida por la ecuación



Observamos que existe para toda x excepto en . Como se muestra en la figura:




Examinemos los valores de la funcióncuando x se aproxime a 1.

Si tomamos valores para x cada vez más próximos a 1, pero menores que 1, es decir la variable x se aproxima o tiende a 1 por la izquierda; la función se aproxima a 5. Esto se muestra en la siguiente tabla:


x
0
0,25
0,5
0,75
0,9
0,99
0,999
0,9999
0,99999
f(x)
3
3,5
4
4,5
4,8
4,98
4,998
4,9998
4,99998


Si tomamos valores para x cada vez más próximos a 1, pero mayores que1, es decir la variable x se aproxima o tiende a 1 por la derecha; la función se aproxima a 5. Esto se muestra en la siguiente tabla:


x
1,00001
1,0001
1,001
1,01
1,1
1,25
1,5
1,75
2
f(x)
5,00002
5,0002
5,002
5,02
5,2
5,5
6,0
6,5
7


Observamos en ambas tablas que, cuando x se aproxima cada vez más a 1, se aproxima cada vez más a 5. Simbólicamente:

Cuando entonces
Esto se muestraen la siguiente figura:




En otras palabras, podemos hacer que la distancia entre y 5 sea tan pequeña como queramos, haciendo que la distancia entre x y 1 sea suficientemente pequeña; es decir:

Si entonces









1


2

0,75


1,5

0,5


1

0,25


0,5

0,1


0,2

0,01


0,02

0,001


0,002

0,0001


0,0002

0,00001


0,00002
…
…

…
…







Una manera mas precisa de observaresto consiste en utilizar dos simbolos para estas pequeñas diferencias. Los símbolos que se emplean son letras del alfabeto griego (épsilon) y (delta).

De esta forma se establece que:

Para cualquier número positivo existe un número positivo , tal que: si entonces , es decir que a medida que x se aproxima a 1, el límite de es igual a 5

En símbolos:
2. DEFINICIÓN DE LÍMITE
El número realL es el límite de cuando x se aproxima a , al cual lo denotaremos por: si y solo si para todo número existe un número tal que, para todo y entonces .

En forma simbólica:



3. DEMOSTRACIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Para demostrar la existencia de un límite, , es necesario demostrar que dado cualquier es posible encontrar un tal que, si
Para lo cual se sigue los siguientes pasos:1°. Se descompone en dos factores:
2°. Se asigna a un valor inicial , según la forma que tenga :
Si es un polinomio, hacer . (en particular elegir )
Si es un cociente de dos polinomios, hacer , donde es una asíntota vertical de . (en particular es la asíntota vertical más cerca a ).
Si es una función que contiene radicales de índice par, el acotamiento de se hace a partir del dominio de .3°. Se acota , es decir encontrar un número tal que cumpla: ; a partir de
4°. Se reemplaza en
5°. Se elige el menor, es decir:
Con lo cual queda demostrado que es posible encontrar un , para todo , consecuentemente, la existencia de

Ejemplo 1:
Aplicando la definición de límite, demostrar que
Demostración:
Por la definición de límite se tiene:


1°. Se descompone

2°. Se asigna a unvalor inicial


3°. Se acota , , a partir de




4°. Se reemplaza en



5°. Se elige el

 Dado un
Lo queda demostrado que:


Ejemplo 2:
Aplicando la definición de límite, demostrar que
Demostración:
Por la definición de límite se tiene:

1°. Se descompone



2°. Se asigna a un valor inicial

3°. Se acota , , a partir de






4°. Se reemplaza en



5°. Se elige el

Por lo tanto,dado un
Lo queda demostrado que:


Ejemplo 3:
Aplicando la definición de límite demostrar que
Demostración:
Por la definición de límite se tiene:


1°. Se descompone


2°. Se asigna a un valor inicial


3°. Se acota , , a partir de







4°. Se reemplaza en



5°. Se elige el

Por lo tanto, dado un
Lo queda demostrado que:


Ejemplo 4:
Aplicando la definición de límite demostrar que...