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Boletín: Cadenas de Markov

IES de MOS

Métodos Estadísticos y Numéricos

1.

Tenemos 2 bolas blancas y 2 negras. Las repartimos en dos urnas cada una con 2. El sistema
está en estado j si la urna 1 contiene j bolas blancas. En cada paso, sacamos una bola al azar
de cada urna y la ponemos en la otra urna. Determinar la matriz de probabilidades de
transición y la distribución límite.

2.

Unprofesor recibe una práctica cada mañana y la pone en una pila. Por las tardes, con
probabilidad 1/3 corrige todas las prácticas de la pila y las devuelve. Cuando hay cinco
prácticas, las corrige y devuelve seguro. Describir la correspondiente cadena de Markov.
¿Cuál es el número esperado de prácticas en la pila?

3. Los hábitos de estudio de un estudiante son como sigue : Si estudia una noche, estáseguro en
un 70 % de que no estudiará la noche siguiente. Por otra parte, la probabilidad de que no
estudie dos noches seguidas es 0.6. A la larga, ¿ con qué frecuencia estudia ?

Sol: 4/11 del tiempo
4. El territorio de un vendedor consta de tres ciudades A, B y C. Nunca vende en la misma
ciudad en dos días sucesivos. Si el vendedor trabaja en la ciudad A entonces al día siguiente
trabajará en laciudad B, sin embargo, si trabaja en B o en C , la probabilidad de que trabaje
en la ciudad A es el doble de la probabilidad de que lo haga en cualquiera de las otras dos
ciudades. A la larga, ¿ con qué frecuencia trabaja el vendedor en cada una de las dos
ciudades.?

Sol: 40%, 45%, 15%
5. En cierta ciudad hay 3 canales de televisión, A, B y C. Un telespectador selecciona un canal
cada día. Sisintoniza el canal A un día, al día siguiente puede igualmente sintonizar cualquiera
de los otros dos canales. Si sintoniza el canal B, al día siguiente tiene un 40 % de probabilidad
de volver a sintonizar el mismo canal e igual probabilidad de sintonizar cada uno de los otros
dos. Si sintoniza el canal C, al día siguiente tiene un 70 % de probabilidad de sintonizar el
canal A, y la probabilidad desintonizar el canal B es el doble de la de sintonizar C.
a) Determine el vector de los estados, y la matriz de transición.
b) Si el primer día selecciona la señal B, ¿ Qué probabilidad hay de que selecciones la señal A
al tercer día ?
c) Si el canal C transmite futbol el día sábado y el día lunes seleccionó el canal C, ¿ Qué
probabilidad tiene de ver el futbol ?
d) ¿ Con qué frecuencia sintonizacada canal ?

Sol: b) 0,33; c) 0,28614; d) 32,43%, 37,16%, 30,40%
6. Encontrar la matriz de transición de cada uno de los diagramas de transición siguientes :

(a)

(b)

7. La variación del tiempo de un día a otro se supone que forma una cadena de Markov con la matriz
de transición siguiente.

Dado que hoy (domingo) está nublado, ¿cuál es la probabilidad de que el miércoles sea soleado?
Sol: 0,2668. Tres bolas blancas y tres negras están distribuidas en dos urnas A y B de forma que en cada
una de ellas hay tres bolas. Decimos que el sistema está en el estado i si la urna A contiene i
bolas blancas. En cada etapa cogemos una bola al azar de cada urna y la ponemos en la otra.
a) Indica los estados de la cadena de Markov que describe este problema, y calcula la matriz
de probabilidades detransición.
b) Sabiendo que inicialmente hay dos bolas blancas en la urna A, calcula la probabilidad de
que tras la segunda etapa todas las bolas sean blancas en dicha urna.
c) Obtener las probabilidades de equilibrio de esta cadena.

9.

El funcionamiento de un determinado sistema de producción se puede modelizar mediante una
cadena de Markov con cinco estados (0-funcionamiento óptimo,1-funcionamiento inestable,
2-bloqueo transitorio, 3-colapso, 4-restauración) con diagrama de transición:

Supuesto que en el instante n = 0 el sistema está funcionando de manera óptima, calcula el
vector de probabilidades de estado para el instante n = 2.
10. El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el
que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una...