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UNIVERSIDAD ANDRES BELLO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
D. Inzunza H.

dinzunzah@gmail.com
Prueba Solemne 1 (Soluci´ n)
o
C´ lculo en Varias Variables (FMM235)
a

1. Encontrar la adherencia, el interior, el conjunto de los puntos de acumulaci´ n y la frontera del
o
conjunto
A = (x, y) ∈ R2 : x2 < y ≤ |x| .
Idea de soluci´ n:
o

2

−3

−2−1

1

2

3 (3 ptos.)

Del gr´ fico se obtiene que,
a
{(x, y) ∈ R2 : x2 < y < |x|} (3 ptos.)
{(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ |x|} (3 ptos.)
{(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ |x|} (3 ptos.)
{(x, y) ∈ R2 : y =x2 , −1 ≤ x ≤ 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 : y = |x| , −1 ≤ x ≤ 1} (3 ptos.)
 2
 x y , (x, y) = (0, 0)
2. Sea f (x, y) = x2 + y 2

0,
(x, y) = (0, 0)
A◦
A
A′
F r(A)

=
=
=
=

a) Analizar ladiferenciabilidad de f en el origen.
Idea de soluci´ n:
o
Notar que,
fx (0, 0) =

∂f
f (0 + h, 0) − f (0, 0)
f (h, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım
= l´
ım
h→0
h→0
∂x
h
h
2
0
h ·0
−0−0
2
2
2
2
= l´ h + 0
ım
= l´ h + 0
ım
h→0
h→0
h
h
0
0−0
= l´
ım = l´ 0 = 0 , (1 pto.)
ım
= l´
ım
h→0 h
h→0
h→0
h
1

y de igual forma, se obtiene
fy (0, 0) =

∂f
(0, 0) =0. (1 pto.)
∂x

Ahora, f es diferenciable en el punto (0, 0) si y s´ lo si
o
f (x, y) − f (0, 0) − fx (0, 0)(x − 0) − fy (0, 0)(y − 0)
= 0,
(x,y)→(0,0)
(x, y)
l´
ım

o equivalentemente
l´ım

(x,y)→(0,0)

f (x, y)
= 0.
(x, y)

Consideremos entonces la trayectoria T = {(x, y) ∈ R2 : y = x} (1 pto.). Luego,
l´
ım

(x,y)→(0,0)

(x,y)∈T

f (x, y)
(x, y)

=

l´
ım(x,x)→(0,0)

x2 x
x3
2
f (x, x)
x2
2x2
ım √
= l´
ım √ + x = l´
(x,x)→(0,0)
(x, x)
x2 + x2 (x,x)→(0,0) 2x2

x3
x3
x3
= l´
ım 3/2
= l´
ım 3/2 3
x→0 (2x2 )3/2
x→0 2
· (x2 )3/2 x→02 · x
1
1
= l´
ım 3/2 = 3/2 = 0. (2 ptos.)
x→0 2
2
= l´
ım

Lo anterior nos dice que f no es diferenciable en el origen.
b) Decidir si f es continua en (0, 0).
Idea de Soluci´ n:
o...