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ECUACIONES DIFERENCIALES
INTRODUCCION
o o Una Ecuaci´n Diferencial , es una ecuaci´n donde la inc´gnita es una funci´n ( escalar o o o vectorial) que aparece bajo un signo de derivada o diferencial. Se distinguen dos grandes tipos de Ecuaciones Diferenciales: o • La Ecuaci´n Diferencial Ordinaria (EDO) que es una ecuaci´n que contiene derivadas o ordinarias de una funci´n respecto a una solavariable independiente. o o o • La Ecuaci´n Diferencial en Derivadas Parciales (EDP) es una ecuaci´n que contiene derivadas parciales de una funci´n que depende de varias variables. o • Ejemplos: — Son Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, dx = kx2 , dt x2 dy d2 y + x + x2 − 1 y = 0, 2 dx dx x2 + y 2 dy − 2xy dx = 0

— Son Ecuaciones Diferenciales Parciales, ∂ 2u ∂u =2 2 ∂y ∂x , ∂ 2u ∂ 2u + =0 ,∂x2 ∂y 2 ∂ 2u ∂2u ∂ 2u + tx 2 = t + x − ∂t2 ∂t∂x ∂x

Cuando una Ecuaci´n Diferencial contiene una o m´s derivadas respecto a una variable en o a particular, esa variable es una variable independiente y una variable es variable dependiente si una derivada de esa variable aparece en la Ecuaci´n diferencial. o • Ejemplos: — En la Ecuaci´n Diferencial o x2 dy d2 y + x + x2 − 1 y = 0 2 dx dx

y esvariable dependiente y x es variable independiente. — En la Ecuaci´n Diferencial o dx − 2x = t dt x es variable dependiente y t es variable independiente. ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x2 ∂y 2

— En la Ecuaci´n Diferencial o

u es variable dependiente mientras que x e y son variables independientes. — La Ecuaci´n Diferencial o x2 + y 2 dy − 2xy dx = 0 se puede escribir de dos formas, a saber como 1

dy ∗(x2 + y 2 ) − 2xy = 0 , en tal caso y es variable dependiente y x es dx variable independiente. dx = 0 , en tal caso x es variable dependiente e y ∗ (x2 + y 2 ) − 2xy dy es variable independiente.

El concepto de Ecuaci´n Diferencial aparece con en el siglo XVII con el C´lculo Diferencial o a e Integral y en el siglo XVIII este concepto es precisado con el desarrollo de estas disciplinas. Lateor´ de las Ecuaciones Diferenciales es una de las mas amplias ramas de la matem´tica ıa a actual y es tambi´n una de las que m´s se relaciona con las aplicaciones. e a Al tratar de entender cualquier fen´meno f´ o ısico, entendido este como un evento bajo estudio que presente la variaci´n de una variable respecto a otras, la mente crea una ideo alizaci´n y la plasma en un modelo matem´tico, endonde tomando el aspecto central del o a fen´meno,estudia sus causas y lo describe en forma matem´tica ; con frecuencia la expresi´n o a o matem´tica o ley emanada del estudio se expresa en forma de una Ecuaci´n Diferencial. a o El objeto principal en las Ecuaciones Diferenciales son sus soluciones . Esto es, funciones que verifican la Ecuaci´n Diferencial dada. Existen varias formas de encontraruna soluci´n, o o como ser los m´todos anal´ e ıticos, los que llevan a obtener una expresi´n matem´tica exacta de o a la soluci´n. Sin embargo, se sabe que, en proporci´n son pocas las Ecuaciones Diferenciales o o que poseen una soluci´n anal´ o ıtica expresable por funciones usuales. En ausencia de una soluci´n anal´ o ıtica, se recurre a una soluci´n num´rica. Existen varias t´cnicas deresoluci´n o e e o num´rica pero, al igual que los m´todos anal´ e e ıticos, no hay ninguno universal. Tambi´n e hay m´todos intermedios entre los puramente anal´ e ıticos y los puramente num´ricos, su uso e depende del problema que se desee resolver . Otra forma de ver las soluciones de una Ecuaci´n Diferencial es a trav´s de sus propiedades o e cualitativas. Esto es, a trav´s de propiedades intr´ eınsecas (anal´ ıticas y geom´tricas) que cone lleva la forma de la Ecuaci´n Diferencial, la cual usualmente, describe un proceso de evoluci´n o o determinista. Esto permite en cierta medida, conocer el comportamiento de una soluci´n, o sin necesariamente conocerla .

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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO´s)
• GENERALIDADES: o El t´rmino Ecuaci´n Diferencial Ordinaria de Orden n , es...