Wena

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
FACULTAD CS. NATURALES MATEMATICA Y M.AMBIENTE
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

LA DERIVADA
Resumen
f (x + h) − f (x)
h→0
h
• Algebra de derivadas: Sean f yg funciones derivables, entonces

• Definici´n de derivada: Dada y = f (x) entonces y = f (x) = l´
o
ım

1. (f ± g ) (x) = f (x) ± g (x)

3. (f · g ) (x) = f (x) · g (x) + f (x) · g (x)

2.(kf ) (x) = kf (x)

4.

f
g

( x) =

f (x) · g (x) − f (x) · g (x)
(g (x))2

• F´rmulas b´sicas de derivaci´n
o
a
o
a) Funciones algebraicas
1. f (x) = k ⇒ f (x) = 0
2. f (x) = xn ⇒ f(x) = nxn−1

3. f (x) = x ⇒ f (x) = 1
1
1
4. f (x) = x ⇒ f (x) = − x2

b) Funciones exponencial (e) y logaritmo natural
1. f (x) = ex ⇒ f (x) = ex

2. f (x) = ln (x) ⇒ f (x) =

1
x

c)Funciones trigonom´tricas
e
1. f (x) = sen (x) ⇒ f (x) = cos (x)
2. f (x) = cos (x) ⇒ f (x) = − sen (x)
3. f (x) = tg (x) ⇒ f (x) = sec2 (x)
4. f (x) = cot (x) ⇒ f (x) = − cosec2 (x)
5. f (x) =sec (x) ⇒ f (x) = sec (x) · tg (x)
6. f (x) = cosec (x) ⇒ f (x) = − cosec (x) · cot (x)
d) Funciones trigonom´tricas inversas
e
1. f (x) = arc sen (x) ⇒ f (x) = √11 x2
−
2. f (x) = arc cos (x)⇒ f (x) = − √11 x2
−
1
3. f (x) = arc tg (x) ⇒ f (x) = 1+x2
1
4. f (x) = arccot (x) ⇒ f (x) = − 1+x2
1
5. f (x) = arcsec (x) ⇒ f (x) = x√x2 −1
1
6. f (x) = arccosec (x) ⇒ f (x) = − x√x2 −1

•Derivada de la funci´n compuesta (Regla de la cadena): Sean f y g funciones entonces
o
(f ◦ g )(x) = f (g (x)) ⇒ (f ◦ g ) (x) = f (g (x)) · g (x)
La regla se extiende para un n´mero n defunciones.
u

EJERCICIOS
1. Calcular la derivada de las
posible
a)y = x5 + 5x4 − 10x2 + 6
4
1
b)y = 2x2 + √x
√
√
c)f (x) = 2x + 2 x
6
2
d)f (t) = √t + √t
8
e)y = (1 − 5x)6
f )y = (3 + 4x −x2 )1/2
g )θ = 3r+2
2r+3
x
h)y = ( 1+x )5
√
i)y = 2x2 2 − x
√
j )f (x) = x 3 − 2x2
w
k )z = √1−4w2
√
l)y = 1 + x

m)y =
n)y =

x−1
x+1
x3 − 1 4
( 2x3 +1 )

funciones,...