wgsgs

Sistemes Lineals
Tema 2-2. Dinàmica de sistemes lineals

Sistemes Lineals
Tema 2-2. Dinàmica de sistemes lineals

Index
1.
2.

Introducció
Funció de transferència

3.
4.
5.
6.
7.

Tipus de resposta: Natural i forçada. Transitòria i permanent.
Diagrama de pols i zeros. Estabilitat.
Duració dels transitoris. Constant de temps
Sistemes de 1er ordre. Resposta a l’esgraóSistemes de 2on ordre
•
•
•

8.
9.

Forma canònica
Estabilitat
Lloc dels arrels

Resposta en règim permanent sinusoïdal
Oscil·ladors sinusoïdals

Sistemes Lineals
Tema 2-2. Dinàmica de sistemes lineals

1. Introducció
•

La relació entre l’entrada (senyal d’excitació: [x(t)]) i la sortida (senyal de resposta:
[y(t)]) en un sistema lineal és, en cada domini (t i s), de la següentforma:
Domini temporal

x(t)

•

Domini de Laplace

y(t) = T [ x(t) ]
T [·]

Transformació lineal
(e.g. equació diferencial)

Y(s) = H(s) X(s)

X(s)
H(s)

En general, un sistema lineal pot processar un conjunt d’entrades, tant excitacions
[xin(t)] com condicions inicials dels seus elements amb memòria [xci(t)].
xin1  t 
xin 2  t 
xin 3  t 

+
+

+

xci1  0 xci 2  0 

y t 

Sistemes Lineals
Tema 2-2. Dinàmica de sistemes lineals

1. Introducció
•

Aplicant superposició, la transformada de Laplace de la resposta serà de la forma:
Excitacions

Condicions inicials
N

M

i 1

j 1

Y  s    X in i  s  HZS i  s    X ci j  s  HZI j  s 
Resposta
(Condicions inicials nul·les) a estat nul
Exemple 2-2.1

iL  0  sL
+
vg (t)


+
vo (t)?


Resposta
a entrada nul·la (Excitacions desconnectades)

R

 Vo  s  

+
Vg (s)


Ls +
Vo (s)?


R

KCL  iL  0  s 

Vg  s   V0  s 
Ls

Vg  s 
iL  0 
R
R L


iL  0  
Vg  s 
s 1 Ls  1 R  Ls 1 Ls  1 R  s  R L
sR L
Resp. a entrada nul·la

Resp. a estat nul



V0  s 
R

Sistemes LinealsTema 2-2. Dinàmica de sistemes lineals

2. Funció de transferència
•

Funció de Transferència: Definida per a cada excitació, és el quocient entre les
transformades de Laplace de la resposta a estat zero i de l’excitació.

X  s

•

H  s

Y  s

H  s 

Y  s
X  s

Y  s  H  s  X  s

En el domini temporal

xt 

ht 

y t  L

1

H  s  X s  L



1

H  s  L



1

 X  s  h  t   x  t 



Convolució
1
On h  t  = L  H  s   és la resposta impulsional del sistema: Resposta a estat zero del


sistema quan l’entrada és un impuls (funció delta):

•

Si

x t    t 

L   t    1



Y  s   H  s  1  H  s 

y t  L

1

H  s  h  t 

Sistemes Lineals
Tema 2-2. Dinàmica de sistemes lineals

2. Funció de transferència
•

Cas particular: resposta a l’esgraó (o resposta indicial): g (t)

Si x  t   u  t 

y t  h t u t  g t
•

L u  t   



1
s

Y  s  G  s 

H  s
s

Permet obtenir la funció de transferència sense disposar d’un impuls com excitació

h t  L

1

H  s  L


1

d  g  t 

G  s   s  



dt

Principals propietats de la funció de transferència
•

La funció de transferència no depèn de l’excitació, només depèn dels característiques
del sistema.

•

Totes les funcions de transferència possibles d’un mateix sistema tenen el mateix
denominador (els mateixos pols).

•

L’ordre del denominador de la funció detransferència és igual o menor que el nombre
d’elements dinàmics del sistema (en el cas de circuits: bobines i condensadors).

Sistemes Lineals
Tema 2-2. Dinàmica de sistemes lineals

3. Tipus de resposta: Natural i forçada
•

En la transformada de Laplace de la resposta es poden diferenciar els pols aportats
per la funció de transferència dels pols aportats per l’excitació:

Y s  H...