Wilbeerrr
Páginas: 130 (32262 palabras)
Publicado: 7 de julio de 2012
UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE IBARRA - ECUADOR
CÁLCULO VECTORIAL
Louis Leithold-EC7; capítulos 9, 10 y 11
Arnaldo Pillajo y Ernesto Palacios
2009
(También hay disponible una versión .docx) EJERCICIOS 9.1
vlad_palacios@hotmail.com
En los ejercicios 1 a 10, dibuje la gráfica de las ecuaciones para métricas y obtenga una ecuación cartesiana de la grafica. 1.
x x
2
4 cos t ;y y
2
4 sin t ; t
2
0, 2 t 16
16 cos
t
16 sin
2
2.
x x
2
4 cos t ; y y
2
4 sin t ; t
2
0, t 16; y 0
16 cos
t
16 sin
2
3.
x
4 cos t ; y
2
4 sin t ; t
2
1 2
,
1 2
x
y
2
16 cos
t
16 sin
2
t
16; x
0
4.
x
x
2
9 cos t ; y
y
2
4 sin t ; t
t sin
2
0, 2
1
cos
2
t
81
16 5.
x
x
2
4 cos t ; y
y
2
25 sin t ; t
t sin
2
0, 2
1
cos
2
t
16
625
6.
x
4 cos t ; y
2
25 sin t ; t
2
1 2
,
1 2
x
y
2
cos
2
t
sin
t
1; x
0
16
625
7.
x
4 sec t ; y
2
25 tan t ; t
2
1 2
,
1 2
x
y
2
sec
2
t
tan
t
1, x
0
16
81
8.
x
4 tant ; y
2
9 sec t ; t
2
0,
1 2
,
3 2
y
x
2
sec
2
t
tan
t
1, x
0
81
16
9.
x
3
2t ; y
4
t
x
2y
3
2t
8
2t
11
10. x
2t
5; y
t
1
x
2y
2t
5
2t
2
7
En los ejercicios 11 16, calcule
2
dy dx
;
d y dx
2
2
sin eliminar el parámetro.
11. x
dy dx
3t , y2t
dy dt dx dt 4t 3 ; d y dx
2 2
dy dt dx dt
1 t
4 9
12. x
dy dx
1
t , y
2
dy dt dx dt 1 2t ; d y dx
2 2
dy dt dx dt
t ln | t |
1 4t
3
13. x
dy dx
t e , y
2
t
dy dt dx dt ln | t te
t
dy 1| t ; d y dx
2 2
2
dt dx dt
2
t
ln | t t e
3 2t
1| 2 t
t
2
4t
2
3
14. x
dy dx
e , y
dy dt dx dt
2t
1
ecos t
dy
2t
sin t 2
;
d y dx
2
2
dt dx dt
sin t 2
cos t 4
e
4t
15. x
dy dx
a cos t , y
dy dt dx dt b a
b sin t
dy d y dx
2 2
cot t ;
dt dx dt
b a csc
2 3
t
16. x
dy dx
a cosh t , y
dy dt dx dt b a
b sinh t
dy d y dx
2 2
coth t ;
dt dx dt
b a
2
csc h
3
t
En los ejercicios 17 a 21, para la grafica de lasecuaciones para métricas (a), obtenga las rectas tangentes horizontales y verticales, y (b) determine la concavidad 17. x a)
4t
2
4t ; y
1
4t
2
dx dt dy dt x
8t 0; 1
dy
4; dx dt
dy dt 4
8t 0
b)
dy dx
dt dx dt
8t 8t 4
;
d y dx
2
2
1 1 t 1 2
3
18. x a)
t
2
t, y
t
2
t
dx dt dy dt y
2t 0; 1 4
1; dx dt
dy dt 2 0
2t1
dy
b)
dy dx
dt dx dt
2t 2t
1 1
;
d y dx
2
2
1 2 t 1 2
3
19. x
dy dx x
2t , y
3
4t
dy dt dx dt 0 8t 6t
2
4 3t
d y dx
2
2
2 9t
4
20. x
dx dt dy
2t ; y
2
3t
3
4t; 9
dy dt
9t
2
t dx 4 2 d y 9 dx
2
16 t
21. x
3t 1 t
3
, y 1
2t t
3 3 2
3t
2
t
3
; t
3t 2 1
1
t t
3 3 2dx dt
3 1 1
;
dy dt
22. Trace la hoja de Descartes del ejercicio 21 en la graficadora y determine la 1 ;(b) 1 t 0 ;(c) t 0 . porción de la hoja generada cuando (a) t
23. Obtenga una ecuación cartesiana de la hoja de Descartes del ejercicio 21.
x
3
y
3
27 t
3
27 t t
3 3
6
27 t 1 t
3 2
3 1
3t t 1
3
3t
2
1
3
t
3
3 xy
24.Un proyectil se desplaza de modo que las coordenadas de su posición en cualquier instante t están dadas por las ecuaciones para métricas
x 60 t ; y 80 t la graficadora. 16 t . Dibuje la trayectoria del proyectil y verifique la gráfica en
2
25. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por 1 las ecuaciones para métricas x 2 sin t ; y 5 cos t , para el cual t ....
CÁLCULO VECTORIAL
Louis Leithold-EC7; capítulos 9, 10 y 11
Arnaldo Pillajo y Ernesto Palacios
2009
(También hay disponible una versión .docx) EJERCICIOS 9.1
vlad_palacios@hotmail.com
En los ejercicios 1 a 10, dibuje la gráfica de las ecuaciones para métricas y obtenga una ecuación cartesiana de la grafica. 1.
x x
2
4 cos t ;y y
2
4 sin t ; t
2
0, 2 t 16
16 cos
t
16 sin
2
2.
x x
2
4 cos t ; y y
2
4 sin t ; t
2
0, t 16; y 0
16 cos
t
16 sin
2
3.
x
4 cos t ; y
2
4 sin t ; t
2
1 2
,
1 2
x
y
2
16 cos
t
16 sin
2
t
16; x
0
4.
x
x
2
9 cos t ; y
y
2
4 sin t ; t
t sin
2
0, 2
1
cos
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t
81
16 5.
x
x
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4 cos t ; y
y
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25 sin t ; t
t sin
2
0, 2
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cos
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t
16
625
6.
x
4 cos t ; y
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25 sin t ; t
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1 2
,
1 2
x
y
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cos
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sin
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16
625
7.
x
4 sec t ; y
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25 tan t ; t
2
1 2
,
1 2
x
y
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sec
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tan
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0
16
81
8.
x
4 tant ; y
2
9 sec t ; t
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0,
1 2
,
3 2
y
x
2
sec
2
t
tan
t
1, x
0
81
16
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x
3
2t ; y
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t
x
2y
3
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8
2t
11
10. x
2t
5; y
t
1
x
2y
2t
5
2t
2
7
En los ejercicios 11 16, calcule
2
dy dx
;
d y dx
2
2
sin eliminar el parámetro.
11. x
dy dx
3t , y2t
dy dt dx dt 4t 3 ; d y dx
2 2
dy dt dx dt
1 t
4 9
12. x
dy dx
1
t , y
2
dy dt dx dt 1 2t ; d y dx
2 2
dy dt dx dt
t ln | t |
1 4t
3
13. x
dy dx
t e , y
2
t
dy dt dx dt ln | t te
t
dy 1| t ; d y dx
2 2
2
dt dx dt
2
t
ln | t t e
3 2t
1| 2 t
t
2
4t
2
3
14. x
dy dx
e , y
dy dt dx dt
2t
1
ecos t
dy
2t
sin t 2
;
d y dx
2
2
dt dx dt
sin t 2
cos t 4
e
4t
15. x
dy dx
a cos t , y
dy dt dx dt b a
b sin t
dy d y dx
2 2
cot t ;
dt dx dt
b a csc
2 3
t
16. x
dy dx
a cosh t , y
dy dt dx dt b a
b sinh t
dy d y dx
2 2
coth t ;
dt dx dt
b a
2
csc h
3
t
En los ejercicios 17 a 21, para la grafica de lasecuaciones para métricas (a), obtenga las rectas tangentes horizontales y verticales, y (b) determine la concavidad 17. x a)
4t
2
4t ; y
1
4t
2
dx dt dy dt x
8t 0; 1
dy
4; dx dt
dy dt 4
8t 0
b)
dy dx
dt dx dt
8t 8t 4
;
d y dx
2
2
1 1 t 1 2
3
18. x a)
t
2
t, y
t
2
t
dx dt dy dt y
2t 0; 1 4
1; dx dt
dy dt 2 0
2t1
dy
b)
dy dx
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2t 2t
1 1
;
d y dx
2
2
1 2 t 1 2
3
19. x
dy dx x
2t , y
3
4t
dy dt dx dt 0 8t 6t
2
4 3t
d y dx
2
2
2 9t
4
20. x
dx dt dy
2t ; y
2
3t
3
4t; 9
dy dt
9t
2
t dx 4 2 d y 9 dx
2
16 t
21. x
3t 1 t
3
, y 1
2t t
3 3 2
3t
2
t
3
; t
3t 2 1
1
t t
3 3 2dx dt
3 1 1
;
dy dt
22. Trace la hoja de Descartes del ejercicio 21 en la graficadora y determine la 1 ;(b) 1 t 0 ;(c) t 0 . porción de la hoja generada cuando (a) t
23. Obtenga una ecuación cartesiana de la hoja de Descartes del ejercicio 21.
x
3
y
3
27 t
3
27 t t
3 3
6
27 t 1 t
3 2
3 1
3t t 1
3
3t
2
1
3
t
3
3 xy
24.Un proyectil se desplaza de modo que las coordenadas de su posición en cualquier instante t están dadas por las ecuaciones para métricas
x 60 t ; y 80 t la graficadora. 16 t . Dibuje la trayectoria del proyectil y verifique la gráfica en
2
25. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por 1 las ecuaciones para métricas x 2 sin t ; y 5 cos t , para el cual t ....
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