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Introduccion

La estimación exponencial es muy importante en matemáticas. Es la función con más presencia en los fenómenos observables. Sirve para calcular tasas de crecimiento, como por ejemplo la tasa de crecimiento de la población, entre muchas otras.
En esta investigación se puede observar varias aplicaciones de la estimación exponencial


Definición de modelo exponencialrepresenta una curva de tipo exponencial en R2



Para determinar los parámetros a y b del modelo exponencial que da cuenta de los datos empíricos implícito en el modelo, se debe efectuar las transformaciones matemáticas adecuadas a la expresión analítica del modelo de tal forma de trasformarlo en una línea recta. Para tal efecto se le saca logaritmo a la expresión potencialy se obtiene:



la ecuación * queda: donde b es la pendiente de la recta (y) es el coeficiente de posición de la recta, valores que se deben determinar a partir del gráfico.


Ejercicios Resueltos

1.) En la Tabla 1, (extraída de U.S. Department of Comerse, Survey of Current Bussines), se muestran los datos correspondientes a las nuevas unidades habitacionales comenzadas enlos Estados Unidos del tercer trimestre de 1964 al segundo trimestre de 1972 (en miles de unidades).

Tabla 1: Unidades habitacionales, (en miles), en EEUU (1964-1972).



Sea t cada uno de los 32 trimestres que van de 1964 a 1972, o sea que t = 1 para el tercer trimestre de 1964, t = 2 para el cuarto trimestre, y así sucesivamente. Así que el dominio de definición de tes el conjunto de los enteros de 1 a 32 inclusive, y sea T (t) las iniciaciones de viviendas trimestralmente. Con estos datos se desea estimar la tendencia. Suponiendo que la componente estacional E(t) no está presente, y el modelo aditivo es adecuado, entonces el modelo es:


En este caso podemos estimar la tendencia T(t), lo cual significa ajustar una función del tiempo. En esteejemplo se hace uso del modelo: exponencial.

Modelo exponencial: . En este caso también existen 2 parámetros para estimar, sin embargo el modelo no es lineal, con lo cual, para poder aplicar el método de mínimos cuadrados, es necesario primero realizar una transformación en los datos. Es posible obtener un modelo lineal, a partir del exponencial, simplemente aplicando logaritmos:

(1)Entonces, reemplazado en la expresión (1), Ln T(t) por T’(t) y Ln a por a’, se puede reescribir el modelo exponencial de la siguiente forma :

(2)

La expresión (2) permite, mediante el ajuste por el método de mínimos cuadrados, estimar los parámetros del modelo exponencial. Para los datos presentados, se obtuvo para expresión (2):

Tabla 3:


Con lo cual en (2) es:(3)

De (3) surge que y teniendo en cuenta que , el modelo exponencial quedaría escrito como:




RESULTADOS

En el ejemplo presentado, para los modelos considerados, se obtuvieron las siguientes estimaciones:


Modelo exponencial:


Obtenidos el modelo matemático exponencial que permitirá realizar estimaciones del número (en miles) de las nuevas unidadeshabitacionales comenzadas en los Estados Unidos, es necesario también realizar una interpretación de los parámetros.

En modelo exponencial las variaciones en la Tendencia, en cada trimestre, dependen del punto considerado, y se pueden calcular encontrando las derivadas de la función en los puntos en cuestión.
En el modelo exponencial, la Tendencia del número de nuevas habitaciones en EEUUaumenta uniformemente en una proporción de 1,7 en cada trimestre. O sea que al pasar de un trimestre a otro, el cambio proporcional en la Tendencia es del 0,17 %.

Tabla 4: Trimestres y ajuste de la Tendencia para los 2 modelos y cambios en la misma considerando c = 1 trimestre






2) Se presenta una ecuación con el valor implícito para c2 y así poder hallar su valor por medio de...