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2.1 Las derivadas y problemas de la recta
1º.- Definición de derivada
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.
La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función noderivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.
Problema de la recta:
La recta, o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos, se puede representar como un vector; está compuesta de infinitos segmentos. El segmento es el fragmento mas corto de una lineaque une dos puntos. La recta también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, sin mostrar ni principio ni fin. También existe la recta numérica que es de las mismas características pero esta representando el orden de los numero.




Ejemplo #1

Encontrar la ecuación de la mediatríz del segmento formado por los puntos A(4,2) y B(-2,10).  

 

 

 

 

 







2.2 Reglas básicas de derivadas y razón de cambio
Reglas basicas de la derivada
Regla 1. Para una constante "a"
Si f(x)= a, su derivada es f '(x)= 0
Ejemplo: Si f(x)= 15 , su derivada es f '(x)= 0

Regla 2. Para la función identidad f(x)= x
Si f(x)= x, su derivada es f ' (x)= 1
Ejemplo: f(x)= x , su derivada es f '(x)= 1

Regla 3. Para unaconstante "a" por una variable x
Si f (x)=ax , su derivada es f '(x)= a
Ejemplo: si f (x)= 12x, su derivada es f '(x)= 12

Regla 4. Para una variable "x" elevada a una potencia "n" 
Si f(x)= x , su derivada es f´(x)=nx
3 2
Ejemplo: f(x)= x, su derivada es f´(x)= 3x


Regla 5. Para una constante "a" por una variable "x" elevada a una potencia "n"
n n-1
Si f(x)= ax , su derivada es f´(x)=anx
2
Ejemplo: f(x)= 4x, su derivada es f´(x)= 8x


Regla 6. Para una suma de funciones
Si f(x)= u(x) + v(x), su derivada es f´(x)= u´(x) + v´(x)
2
Ejemplo: f(x)= 3x + 4x, su derivada es f´(x)= 6x+4


7. Regla del producto 
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios, 
3 4
Ejemplo: f(x)= (2x+3)(3x-5)
2 4 3 3
f´(x)=(6x )(3x-5) +(2x+3)(12x )


8. Regla del cociente
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios, como
Si "u" y "v" son los polinomios 2
La función f(x)= u/v, Se deriva u´v - uv ´/v
3 4
Ejemplo: f(x)= 2x+3 / 3x-5
2 4 3 3 4 2
f´(x)= (6x )(3x-5) - (2x+3)(12x ) / (3x-5)


9.Regla de la cadena
Esta regla útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevadoauna potencia
Si "u" es el polinomio
n n-1
La función: f (x) = u, Su derivada f´(x)= n(u) (u´)
3 5
Ejemplo: f(x)= (2x+3)
3 4 2
f´(x)= 5(2x+3) (6x )
2 3 4
f´(x)= 30x (2x+3)


Razon de Cambio
La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que seestablece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.


2.3 Las reglas del producto y del cociente, derivadas de orden superior.
PRODUCTO
Definición 1: 
da como resultado, la derivada de la primera funcion por la segunda sin derivar, +, la derivada de la segunda funcionpor la primera sin derivar. 



Definición 2: 
El producto de dos funciones derivables f y g es derivable. Su derivada es la primera función por la derivada de la segunda más la derivada de la primera por la segunda. 


Ejemplo # 1
Hallar la derivada de:


 
 
Derivando: 
 
 
Por regla del producto: 
 
Desarrollar: 
 
 
Entonces se...