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y decimos que el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a (o
el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la izquierda) es igual a
L, si podemos aproximar los valores de f(x) a L tanto como
queramos, escogiendo una x lo bastante cerca de a pero menor que
a.
Si queremos que x sea mayor que a, obtenemos: el límite por la
derecha de f(x) cuando x tiende a a es igual a L y seescribe

M.C. José Luis Rodríguez Álvarez

Ejercicios

lim x2  1
x1 x  1
t2  9  3
lim
t0
t2

lim sinx
x

lim 1
x

lim

x 2  4x
x 2  3x  4

x0

x1

lim x lnx  x 2 

4  h 2  16
lim
h
h0

x0

2
lim x 2  5x  4
x4 x  3x  4

x0

limx  cos 5x 
10000
x0
3

2
lim x  x  6
x2
x2

M.C. José Luis Rodríguez ÁlvarezCálculo de los Límites Utilizando las Leyes de los Límites

Supóngase que c es una constante y que los límites dados existen.
lim
lim fx xa gx
1. xa fx  gx  xa fx  xa gx
lim
lim
lim

xa

2. xa fx  gx  xa fx  xa gx
lim
lim
lim
3. xa cfx  c xa fx
lim
lim
4. xa fx  gx  xa fx  xa gx
lim
lim
lim
fx

5. xa gx 
limlim fx
xa

lim gx
xa

si xa gx  0
lim

6. xa fx n  lim fx n
lim
xa
7. xa c  c
lim
8. xa x  a
lim
9. xa x n  a n donde n es un entero positivo
lim
10. xa n x 
lim

n

a donde n es un entero positivo

Si n es par, consideramos que a  0
11. xa n fx  n xa fx donde n es un entero positivo
lim
lim
Si n es par, suponemos que xa fx  0lim

M.C. José Luis Rodríguez Álvarez

Continuidad
A menudo se puede hallar el límite de una función cuando x tiende a
a, con solo calcular el valor de la función en a. Se dice que las
funciones con esta propiedad son continuas en a. Veremos que la
definición matemática de continuidad corresponde íntimamente al
significado de la palabra continuidad en el lenguaje cotidiano.

lim
Unafunción f es continua en un número a si xa fx  fa . Advierta,
que para esto se requieren tres cosas:
1. f(a) está definido (es decir, esta en el dominio de f).
lim
2. xa fx existe (de modo que f debe estar definida en un intervalo
abierto que contiene a a).
lim
3. xa fx  fa
Si f esta definida cerca de a (en otras palabras, f esta definida en un
intervalo abierto quecontiene a), excepto tal vez en a, decimos que f
es discontinua en a.
M.C. José Luis Rodríguez Álvarez

Ejercicios

1. En donde son discontinuas cada una de las funciones siguientes?

fx 

fx 

fx 

x 2 x2
x2

1
x2

fx 

x 2 x
x 2 1

si x  1

1 si x  1

si x  0

1 si x  0

x 2 x2
x2

si x  2

1 si x  2

M.C. José Luis Rodríguez ÁlvarezLímites que Comprenden el Infinito

Limites infinitos

lim
La notación xa fx   significa que los valores de f(x) se pueden
hacer arbitrariamente grandes (tan grandes como deseemos)
eligiendo una x lo bastante cerca de a (pero no igual a a).
La recta x = a se llama asíntota vertical de la curva y = f(x) si se
cumple por lo menos una de las siguientes proposiciones:

lim fx  xa
lim fx  

xa

lim fx  

xa

lim fx  

xa 

lim fx  

xa

lim fx  

xa

M.C. José Luis Rodríguez Álvarez

Límites al Infinito

Al calcular límites infinitos, hicimos que x tendiera a un número y el
resultado fue que los valores de y se hicieran grandes (positivos o
negativos) de manera arbitraria. En este caso, permitamos que x sevuelva arbitrariamente grande (positivo o negativo) y veamos que le
sucede a y.
lim
Sea una función definida en algún intervalo a, . Entonces x fx  L
significa que los valores de f(x) se pueden aproximar a L tanto como
deseemos si escogemos un x suficientemente grande.

La recta y = L se llama asíntotas horizontal de la curva y = f(x) si

lim fx  L o bien
x

lim fx  L...