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UNIDAD I CALCULO DIFERENCIAL “NÚMEROS REALES”
1.1 LA RECTA NÚMERICA
Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número irracional. Por
eso a la recta numérica la llamaremos recta real.
1.2 LOS NÚMEROS REALES
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de
números reales y se designa por R.
Con los números reales podemos realizar lasmismas operaciones que hacíamos con los
números racionales: sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por el cero) y se siguen
manteniendo las mismas propiedades.
También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de
números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurría con los
números racionales.
ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROSNaturales
Enteros
Racionales
Complejos

Reales

Cero
Negativos
Fraccionarios

Irracionales

Uno
Primos
Compuestos

Fracción propia
Fracción impropia

Algebraicos irracionales
Trascendentes

Imaginarios

TIPOS DE NÚMEROS
Los números naturales son : 1, 2, 3, ...., 10, 11, ...., 102, 103,.... . Hay infinitos. Al
conjunto de todos ellos se les designa con la letra N.
Losnúmeros enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero: ..., -11, - 10, ......, 2, -1, 0, 1, 2, ...., 10, 11, ..... Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Z.
Los números fracciones son fracciones (a/b) donde el numerador no es múltiplo del
denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos:
Fracciones propias: Numerador < Denominador (Ejemplo: 2/3)

Fraccionesimpropias: Numerador > Denominador (Ejemplo: 3/2)
Los números fraccionarios tienen una expresión como número decimal
Números decimales exactos: Número finito de decimales: 1,234
Números decimales periódicos puros: Número infinito de decimales tales
que la parte decimal se repite : 1,234234234..... = 1, 234
Números decimales periódicos mixtos: Número infinito de decimales tales que hay
algunacifra decimal que no se repite: 1,2344444..... = 1,23 4
Los números racionales incluyen los números enteros y los fraccionarios. Al conjunto
de todos ellos se les designa con la letra Q.
Los números irracionales son aquellos que no son racionales:
(Números decimales no periódicos)

, 2 , 1’01001....

1.3 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
1.3.1 TRICOTOMÍA
En particular, en los NúmerosReales, además de las propiedades de producto y suma
(que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital
importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto
ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a , entonces se puede decir si
la afirmación
es verdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada
y en se cumple una ysólo una de las siguientes afirmaciones
;
;
Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.
Si imagináramos que es una recta, donde a la izquierda están los números negativos,
al "medio" el cero y a la derecha los positivos, entonces, una interpretación geométrica
de la afirmación
, es que está a la izquierda de . Esta manera de visualizar
es muy conveniente, ya que permiteentender con mayor claridad, algunas de las
propiedades que cumplen los números reales.
Por ejemplo
Si
y
, entonces
La interpretación geométrica de esta propiedad llamada Transitividad, dice que si es
un número real que está a la izquierda de , y está a su vez a la izquierda de ,
entonces está a la izquierda de .
Se dijo al principio que "en particular" esta propiedad se cumplía en losreales. Esto es
porque en general puede representar la cardinalidad de conjuntos (con números), siendo
uno de menor o igual cardinalidad que otro.
1.3.2 TRANSITIVIDAD
La propiedad transitiva establece que para todos los números reales x, y, y z,
si x = y y y = z, entonces x = z.

1.3.3 DENSIDAD
Para cualquier x, y ∈ R si x < y, existe q ∈ Q, tal que x < q < y.
Demostración:
Si x < 0 < y...