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Capítulo 1: La Transformada Z

Capítulo 1. LA TRANSFORMADA Z.

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Sistemas de Control en Tiempo Discreto

1.1 INTRODUCCIÓN.
La transformada Zeta es una herramienta útil en teoría de control en tiempo discreto y su papel es análogo al que juega la transformada de Laplace en tiempo continuo. Una señal en tiempo continuo es aquella que se define sobre un intervalo continuo de tiempo. Unaseñal analógica es una señal definida en un intervalo continuo de tiempo, cuya amplitud puede adoptar un intervalo continuo de valores. En cambio, una señal en tiempo discreto es una señal definida sólo en valores discretos de tiempo. En una señal en tiempo discreto, si la amplitud puede adoptar valores en un intervalo continuo, entonces la señal se denomina señal de datos muestreados. Una señalde datos muestreados se puede generar muestreando una señal analógica en valores discretos de tiempo. Para más información, [REF. 5], [REF. 6]. Se denominan variables de entrada, a todas las que es posible manipular a la entrada del sistema, y que influyen sobre su comportamiento. Las variables de salida son las respuestas medibles del sistema. Las variables de estado de un sistema son el conjuntomás pequeño de variables que sirven para describir en su totalidad el comportamiento de un sistema. Una perturbación o ruido es una señal que afecta adversamente al valor de salida de un sistema. Si una perturbación se genera dentro del sistema, se la denomina interna, dando lugar a las variables internas del sistema. Si la perturbación se genera fuera del sistema se considera externa, yconstituye una entrada. Los sistemas de control en tiempo discreto son aquellos sistemas en los cuales una o más de las variables pueden cambiar sólo en valores discretos de tiempo. Estos instantes, los que se denotarán mediante k T (k = 0, 1, 2, ..., T = periodo de muestreo), pueden especificar los tiempos en los que se lleva a cabo alguna medición de tipo físico, o los tiempos en los que se extraen losdatos de la memoria de una computadora digital. El intervalo de tiempo entre dos instantes discretos consecutivos se supone lo

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Capítulo 1: La Transformada Z

suficientemente corto, como para aproximar el dato de dichos instantes discretos consecutivos con una interpolación sencilla. Se dice que un sistema es causal si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de losvalores de la entrada en el tiempo presente y en el pasado. A estos sistemas también se les llama sistemas no anticipativos, ya que la salida del sistema no anticipa valores futuros de la entrada. Un sistema es estrictamente causal si la salida sólo depende de los valores de la entrada en los instantes de tiempo pasado.

A modo de ejemplo, el sistema definido por la ecuación

x(t) = 2u(t) + u(t-1)es causal. Y el sistema definido por la ecuación

x(t) = u(t-1)

es estrictamente causal. Sin embargo, el sistema definido por la ecuación

x( t ) = u ( t ) - u ( t + 1 )

no es causal.

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Sistemas de Control en Tiempo Discreto

Se dice que un sistema es subamortiguado cuando su salida en el dominio del tiempo se estabiliza alcanzando el valor uno, tras una serie deoscilaciones. Si alcanza dicho valor sin oscilaciones, el sistema tiene amortiguamiento crítico. Se dice que un sistema es sobreamortiguado cuando su salida acaba alcanzando el valor uno sin oscilaciones. Para comprender mejor estos conceptos, dibujamos dichas funciones en el dominio del tiempo.

Si la función que define cada elemento de la secuencia de salida es lineal, el sistema se denomina así mismolineal. Si los coeficientes que definen el sistema son constantes, el sistema lineal es invariante en el tiempo. Dichos sistemas se pueden representar mediante ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes. [REF. 6]. En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes caracteriza la dinámica del sistema, relacionando la...