Wqhfd

Péndulo físico

x

Consideraciones generales En la Figura 1 está representado un péndulo físico, que consiste de un cuerpo de masa m suspendido de un punto de suspensión que dista una distancia dcm de su centro de masa.

Punto de suspensión O

dcm

θ cm m.g

Figura 1: Péndulo físico. cm = centro de masa del sistema; dcm= distancia del punto de suspensión al centro de masa.

Períodopara amplitudes de oscilación pequeñas El período del péndulo físico para pequeñas amplitudes de oscilación está dado por la expresión 1:

T0 = 2 ⋅ π ⋅

I mT ⋅ g ⋅ d cm

(1)

donde I es el momento de inercia de péndulo respecto del centro de rotación (punto de suspensión), m la masa del mismo, g la aceleración de la gravedad del lugar y dcm la distancia del centro demasa del péndulo alcentro de rotación.

Física re-Creativa – S. Gil y E. Rodríguez

1

Período dependiente de la amplitud de oscilación La expresión (1) es sólo una aproximación, que vale en el límite de amplitudes (θ0 → 0). Para un péndulo fisico (sin roce) pero con amplitud finita, el período del mismo depende de la amplitud de la siguiente manera2:
  T (θ 0 ) = T0 ⋅   

∫

θ0

φ= 0

   k 2 −sen2 (φ / 2)   dφ

(2)

Donde k = sen( θ0 / 2 ) . T0 es definida por la expresión (1). Para el caso sen( θ0 / 2) = k < 1 , o sea θ 0 < π , la ecuación (2) tiene la expansión en serie:

T (θ 0 ) = T0 ⋅ (1 +

k2 9 ⋅ k4 25 ⋅ k 6 1225 ⋅ k 8 + + + ⋅ ⋅⋅) , 4 64 256 16384 k 2 32 ⋅ k 4 5 2 ⋅ k 6 35 2 ⋅ k 8 + 2 2 + 2 2 + 2 ⋅ ⋅⋅) . 22 2 ⋅4 2 ⋅8 2 ⋅ 64 2

(3)

o bien:
T (θ 0 ) = T0 ⋅ (1 +(4)

Es posible escribir dos expresiones aproximadas para describir la variación del período con la amplitud2,3, las que son casi idénticas a la expresión (2) si la amplitud es menor que 900.

 θ  T (θ 0 ) = T0 ⋅  0   sinθ   0 
o bien:

3/8

, con

T0 = T (θ = 0o )

(5)

  θ  T (θ 0 ) ≈ T0 ⋅ 1 −  0  π0   

   

2

−

   

π2 16

 θ ≈ T0 ⋅ 1 − 0   4  

   

2

  

(6)

Determinación del momento de inercia de un cuerpo usando un péndulo físico.

Física re-Creativa – S. Gil y E. Rodríguez

2

Según el teorema de los e paralelos1 (teorema de Steiner), el momento de jes inercia respecto de su centro de masa, Icm, y el momento de inercia respecto de un nuevo eje paralelo al primero y separado de aquel por unadistancia y (ver Figuras 1 y 2), están relacionados por:
I ( y) = I cm + M ⋅ y 2

(7)

donde M es la masa del cuerpo. Si ponemos al objeto a oscilar alrededor de un punto de suspensión O, su período será [ver ec. (1)]:
T ( y) = 2 ⋅ π ⋅ I cm + M ⋅ y2 . M ⋅g⋅ y

(8)

La posición del centro de masa del cuerpo puede determinarse c relativa on facilidad. Si el objeto es plano, basta suspenderlode dos puntos cualesquiera y marcar sobre el mismo las direcciones de las verticales que pasan por los puntos de suspensión. La intersección de dichas rectas determina el centro de masa. Esto significa que para un objeto plano el valor de y puede determinarse por medición directa. Si el objeto es simétrico, la simetría indica la ubicación del centro de masa.
Punto de suspensión O

y θ cmSorbete

Fotointerruptor

Figura 2: Oscilación de un cuerpo, formando un péndulo físico. En este caso, el punto de suspensión está contenido en el propio cuerpo.

Física re-Creativa – S. Gil y E. Rodríguez

3

a)

b)

y
θ

cm

fotointerruptor

Figura 3: Oscilación de un cuerpo, formando un péndulo físico. En este caso, el punto de suspensión está fuera del cuerpo. a) Vista defrente, b) perspectiva del sistema bifiliar de suspensión.

De este modo, si se cuelga el cuerpo de un hilo bifiliar como se indica en la Figura 3, midiendo el período del péndulo construido con el cuerpo en cuestión y la distancia y, usando la expresión (8) podemos determinar el momento de inercia del cuerpo respecto de su centro de masa, Icm. Más específicamente, si definimos las variables:...