Wronskiano



INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEHUACÁN

Ecuaciones diferenciales


Alberto Herminio Cruz López


Misael Yahir García Carrera


Ing. Mecatronica






Definición 3.1: Dependencialineal e independencia lineal
Se dice q un conjunto de funcionesliteralmente dependiente en un intervalo si existen constantes, diferentes de cero, de modo que



Para toda en el intervalo. Si elconjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.


En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en unintervalo si las únicas constantes para las que



Para toda en el intervalo son .

Es fácil entender estas definiciones en el caso de dos funciones y . Si las funciones son linealmente dependientesde un intervalo, entonces existen constantes y distintas de cero de manera que toda en el intervalo . Por lo tanto, si asumimos que , se deduce que ; es decir, si dos funciones son linealmentedependientes, entonces una función es simplemente un múltiplo constante de la otra. A la inversa, si para alguna constante entonces para toda en algún intervalo. Por lo tanto, las funciones sonlinealmente dependientes, ya que el menos una de las constantes (es decir, no es cero. En conclusión, en un intervalo, dos funciones son linealmente independientes cuando ninguna de ellas es un múltiploconstante de la otra. Por ejemplo, las funciones y son linealmente independientes en debido a que es un múltiplo constante de . Recuerde que a partir de la fórmula del ángulo doble para el seno, .Por otraparte, las funciones son linealmente independientes en . La observación de la figura 3.3 lo convencerá de que en el intervalo ninguna función es múltiplo constante de la otra.Del análisis anterior se desprende que la relación no es una constante en un intervalo donde y son linealmente independientes. Este pequeño detalle aplicara en la siguiente sección....