wtf es esto

´
Optica y Optometr´
ıa
Res´menes
u
Curso 2007-2008

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´ticas
a

Funciones vectoriales.
En este resumen, escribiremos todo en el espacio eucl´
ıdeo tridimensional R3 .
Una funci´n vectorial es una funci´n que transforma un n´mero real en un vector:
o
o
u
F : R −→ R3 ,

definida como F (t) = (x(t), y(t), z(t)),

donde x(t), y(t) y z(t)son funciones reales de variable real.
As´ se dice que F es continua, derivable o integable, si lo son x(t), y(t) y z(t).; y adem´s su derivada y su
ı,
a
integral se calculan del siguiente modo:
b

F (t) = (x (t), y (t), z (t))

y

b

F (t)dt =

b

x(t)dt,

a

a

b

y(t)dt,
a

z(t)dt .
a

Algunas reglas de derivaci´n de estas funciones relacionadas con lasoperaciones entre vectores son las siguientes
o
(suponemos que F y G son dos funciones vectoriales, u es una funci´n real de variable real y λ ∈ R):
o
1. (F (t) + G(t)) = F (t) + G (t).
2. (λF (t)) = λF (t).
3. (u(t)F (t)) = u (t)F (t) + u(t)F (t).
˙
˙
˙
4. (F (t)G(t)) = F (t)G(t) + F (t)G (t).
5. (F (t) × G(t)) = F (t) × G(t) + F (t) × G (t).
6. (F ◦ u) (t) = (F (u(t))) = F (u(t))u (t).
Se vef´cilmente, que todas son “heredadas” de las reglas de derivaci´n de las funciones reales de variable real.
a
o
Lo mismo ocurre con las integrales:
1.

b
(F (t)
a

2.

b
a

+ G(t))dt =

λF (t)dt = λ

b
a

b
a

F (t)dt +

b
a

G(t)dt.

F (t)dt

Curvas parametrizadas.
Cuando una funci´n vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y suprimera
o
derivada no se anula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector F (t) se le llama vector de posici´n
o
de la curva y a los vectores F (t) y F (t) se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleraci´n. De
o
modo que la velocidad en un instante t es F (t) y la aceleraci´n es F (t) . Al vector F (t) tambi´n se le
o
e
llama vector tangente a la curva F (t) ent, y el vector
T (t) =

F (t)
,
F (t)

recibe el nombre de vector tangente unitario.
Longitud de un arco de curva.
La longitud de un arco (“trozo”) de curva entre dos punto F (a) y F (b) viene dada por la f´rmula
o
b

L(F, a, b) =

b

x (t)2 + y (t)2 + z (t)2 dt.

F (t) dt =
a

a

Curvatura.
Dada una curva regular F (t) se puede reparametrizar (una especie de cambio devariable), de manera que la
longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b;
en este caso se dice que la curva est´ paramentrizada por la longitud del arco, que llamamos s. En este caso el
a
vector tangente siempre es unitario Se define la curvatura como “la variaci´n del vector tangente con respecto
o
a la longitud del arco
dT.
κ=
ds
La curvatura viene a medir como se ”tuerce“ la curva respecto de su longitud. Esta definici´n es bastante
o
intuitiva, pero no esf´cil de calcular. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede
a
calcular como
T (t)
;
κ=
F (t)
o bien
κ=

F (t) × F (t)
F (t) 3

Si la curva est´ en el espacio, tambi´n se “retuerce” y para medir esto se define la torsi´nτ como
a
e
o
τ=

det(F (t), F (t), F (t))
F (t) × F (t)

Funciones de varias variables.
Una funci´n F : Rn −→ Rm de varias variables, asigna a un punto de Rn otro punto de Rm :
o
F (x1 , . . . , xn ) = (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn ))
donde (f1 , . . . , fm ) son funciones fi : Rn −→ R reales de variable vectorial.
Fundamentalmente nos referiremos a funciones f :Rn −→ R reales de variable vectorial.
Derivada seg´ n un vector. Derivadas parciales.
u
Si A ⊂ Rn es un abierto y f : A −→ R una funci´n, se llama derivada de f en el punto a ∈ Rn , seg´n el vector
o
u
v ∈ R al siguiente l´
ımite, si existe
f (a + hv) − f (a)
l´
ım
= Dv f (a).
h→0
h
Si v = 1, se le llama derivada direccional.
Cuando se trata de los vectores i, j k de la base...