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Publicado: 25 de marzo de 2012
Cap´ ıtulo 15 Principio de D’Alembert
15.1 Principio de D’Alembert
En pr´cticamente cualquier sistema mec´nica, adem´s de las fuerzas que controlan a a a su evoluci´n, existen cierto n´mero de ligaduras que constri˜en su movimiento. o u n Podemos imaginar algunos ejemplos sencillos de sistemas con ligaduras: dos cuerpos unidos por una barra r´ ıgida o un hilo inextensible, las cuentas de un´baco ´ a o las mol´culas de un gas confinado en el interior de un recipiente. e Tal como veremos, podemos incorporar estas ligaduras en la descripci´n del o sistema, sin necesidad de tener un conocimiento preciso de las fuerzas que las producen. Que un sistema est´ constre˜ido por ligaduras indica que hay fuerzas pree n sentes que no conocemos a priori. Para soslayar este desconocimiento, habremosde reformular la Mec´nica de modo que estas fuerzas no aparezcan expl´ a ıcitamente. Para ello, comencemos analizando un ejemplo muy sencillo. Consideremos dos masas M1 y M2 sobre dos planos inclinados lisos de ´ngulos α1 y α2 y unidas por a un hilo inextensible como se muestra en la figura. Las fuerzas aplicadas sobre cada masa son el peso Mi g y dos fuerzas de ligadura, una producida por lareacci´n o del plano ˜i y otra ejercida por el hilo fi . La ecuaci´n de Newton para cada masa f o se escribe dpi = Mi g + ˜i + fi f dt Consideremos ahora que congelamos el tiempo y efectuamos un desplazamiento diferencial arbitrario de ambas masas δr1 y δr2 . Sumando sobre las dos masas del sistema obtenemos dp1 ˜ + f1 + f1 .δr1 + dt dp2 ˜ M2 g − + f2 + f2 .δr2 = 0 dt M1 g − Ahora pongamos ciertasrestricciones sobre el desplazamiento δri . Para empezar, 1
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Cap´ ıtulo 15. Principio de D’Alembert
podemos exigir que este desplazamiento sea a lo largo del correspondiente plano inclinado. En este caso, como la reacci´n entre el plano inclinado y la masa es o ˜i .δri = 0. Por lo tanto, podemos eliminar las reacciones perpendicular a aquella, f del plano inclinado en la ecuaci´n anterior, oM1 g − dp2 dp1 + f1 .δr1 + M2 g − + f2 .δr2 = 0 dt dt
Por otro lado, sabemos que las fuerzas de v´ ınculo f1 y f2 ejercidas por el hilo sobre ambas masas son de igual magnitud, y ambas apuntan hacia arriba ´ hacia abajo o de los planos inclinados. Para aprovechar este hecho, pedimos que el desplazamiento de ambas masas tambien sea de la misma magnitud, y que si uno apunta hacia abajo por elplano inclinado, el otro apunte hacia arriba. En otras palabras, estamos pidiendo que el desplazamiento no estire ni contraiga el hilo que conecta ambas masas. Con esta condici´n adicional sobre el desplazamiento, tenemos que o f1 .δr1 = −f2 .δr2 . Por lo tanto, podemos eliminar tambi´n la fuerza ejercida por e el hilo en la ecuaci´n anterior, escribiendo finalmente o M1 g − dp1 dp2 .δr1 + M2 g − .δr2= 0 dt dt
Vemos que con una elecci´n “adecuada” del desplazamiento δri hemos logrado o eliminar las fuerzas de ligadura en la ecuaci´n anterior. En realidad, la inforo maci´n sobre las fuerzas de ligadura permanece en el hecho de que el desplazao miento elegido es compatible con las ligaduras impuestas al sistema. Quiero decir que no intenta forzar las ligaduras, empujando las masas endirecci´n al plano o inclinado, o contrayendo o estirando el hilo que las une. Este tipo particular de desplazamiento se denomina virtual. Por desplazamiento virtual infinitesimal de un sistema entendemos una variaci´n de su configuraci´n como resultado de o o cualquier cambio infinitesimal arbitrario δri de sus coordenadas, compatible con las ligaduras impuestas al sistema, en un instante t. El nombre devirtual distingue este desplazamiento de cualquier desplazamiento real que se produzca en el sistema en un intervalo de tiempo dt durante el cual pueden haber variado las fuerzas y las ligaduras1 . Generalizamos el resultado anterior. En la ecuaci´n de Newton para la i´sima o e part´ ıcula de un sistema mec´nico cualquiera, separamos las fuerzas de v´ a ınculo responsables de las ligaduras,...
15.1 Principio de D’Alembert
En pr´cticamente cualquier sistema mec´nica, adem´s de las fuerzas que controlan a a a su evoluci´n, existen cierto n´mero de ligaduras que constri˜en su movimiento. o u n Podemos imaginar algunos ejemplos sencillos de sistemas con ligaduras: dos cuerpos unidos por una barra r´ ıgida o un hilo inextensible, las cuentas de un´baco ´ a o las mol´culas de un gas confinado en el interior de un recipiente. e Tal como veremos, podemos incorporar estas ligaduras en la descripci´n del o sistema, sin necesidad de tener un conocimiento preciso de las fuerzas que las producen. Que un sistema est´ constre˜ido por ligaduras indica que hay fuerzas pree n sentes que no conocemos a priori. Para soslayar este desconocimiento, habremosde reformular la Mec´nica de modo que estas fuerzas no aparezcan expl´ a ıcitamente. Para ello, comencemos analizando un ejemplo muy sencillo. Consideremos dos masas M1 y M2 sobre dos planos inclinados lisos de ´ngulos α1 y α2 y unidas por a un hilo inextensible como se muestra en la figura. Las fuerzas aplicadas sobre cada masa son el peso Mi g y dos fuerzas de ligadura, una producida por lareacci´n o del plano ˜i y otra ejercida por el hilo fi . La ecuaci´n de Newton para cada masa f o se escribe dpi = Mi g + ˜i + fi f dt Consideremos ahora que congelamos el tiempo y efectuamos un desplazamiento diferencial arbitrario de ambas masas δr1 y δr2 . Sumando sobre las dos masas del sistema obtenemos dp1 ˜ + f1 + f1 .δr1 + dt dp2 ˜ M2 g − + f2 + f2 .δr2 = 0 dt M1 g − Ahora pongamos ciertasrestricciones sobre el desplazamiento δri . Para empezar, 1
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Cap´ ıtulo 15. Principio de D’Alembert
podemos exigir que este desplazamiento sea a lo largo del correspondiente plano inclinado. En este caso, como la reacci´n entre el plano inclinado y la masa es o ˜i .δri = 0. Por lo tanto, podemos eliminar las reacciones perpendicular a aquella, f del plano inclinado en la ecuaci´n anterior, oM1 g − dp2 dp1 + f1 .δr1 + M2 g − + f2 .δr2 = 0 dt dt
Por otro lado, sabemos que las fuerzas de v´ ınculo f1 y f2 ejercidas por el hilo sobre ambas masas son de igual magnitud, y ambas apuntan hacia arriba ´ hacia abajo o de los planos inclinados. Para aprovechar este hecho, pedimos que el desplazamiento de ambas masas tambien sea de la misma magnitud, y que si uno apunta hacia abajo por elplano inclinado, el otro apunte hacia arriba. En otras palabras, estamos pidiendo que el desplazamiento no estire ni contraiga el hilo que conecta ambas masas. Con esta condici´n adicional sobre el desplazamiento, tenemos que o f1 .δr1 = −f2 .δr2 . Por lo tanto, podemos eliminar tambi´n la fuerza ejercida por e el hilo en la ecuaci´n anterior, escribiendo finalmente o M1 g − dp1 dp2 .δr1 + M2 g − .δr2= 0 dt dt
Vemos que con una elecci´n “adecuada” del desplazamiento δri hemos logrado o eliminar las fuerzas de ligadura en la ecuaci´n anterior. En realidad, la inforo maci´n sobre las fuerzas de ligadura permanece en el hecho de que el desplazao miento elegido es compatible con las ligaduras impuestas al sistema. Quiero decir que no intenta forzar las ligaduras, empujando las masas endirecci´n al plano o inclinado, o contrayendo o estirando el hilo que las une. Este tipo particular de desplazamiento se denomina virtual. Por desplazamiento virtual infinitesimal de un sistema entendemos una variaci´n de su configuraci´n como resultado de o o cualquier cambio infinitesimal arbitrario δri de sus coordenadas, compatible con las ligaduras impuestas al sistema, en un instante t. El nombre devirtual distingue este desplazamiento de cualquier desplazamiento real que se produzca en el sistema en un intervalo de tiempo dt durante el cual pueden haber variado las fuerzas y las ligaduras1 . Generalizamos el resultado anterior. En la ecuaci´n de Newton para la i´sima o e part´ ıcula de un sistema mec´nico cualquiera, separamos las fuerzas de v´ a ınculo responsables de las ligaduras,...
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