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LICEO DE APLICACIÓN
DEPTO MATEMÁTICA
Jacqueline Vallejos
NB5/8º Básico

GUÍA DE NÚMEROS ENTEROS
Nombre y Apellidos:_________________________________________________Curso: 8vo Básico __ Fecha: /03/2014
Contenidos:

Aprendizajes esperados:
- Resuelven ejercicios de operatoria con números enteros.
- Resuelven ejercicios de operatoria combinada con números
enteros.
- Resuelven problemas queinvolucren números enteros.

- Operatoria den los números enteros.
- Operaciones combinada.
- Resolución de problemas.

NÚMEROS ENTEROS.
Los números enteros son los elementos que pertenecen al conjunto ℤ formado por los números naturales, sus
opuestos y el cero.
ℤ = … − 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 …
ℤ+ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 … enteros positivos.
ℤ− = −1, −2, −3, − 4, … enteros negativos.
Luego: ℤ = ℤ− ∪0 ∪ ℤ+
Modulo o valor absoluto en ℤ: todo a ∈ ℤ se le asocia un entreo no gativo llamado modulo o valor absoluto, el
que se denota por 𝑎 , que se define como la distancia de a al cero.
Ejemplos:
a) 6= 6

b) -6= 6

c) 12= 12

d) –12= 12

OPERACIONES EN ℤ
1.- Adición en ℤ: se distinguen dos casos:
a) Adición de enteros de igual signo: se suman sus valores absolutos y se conserva el signo.Ejemplos:

-

6 + -4= -10

+

7 + +8= +15

-

2 + -12= -14

+

12 + +3= +15

b) Adición de enteros de distinto signo: se restan valores absolutos y se conserva el signo del numero con
mayor valor absoluto.
Ejemplo:

+

10 + -40 = -30

+

12 + -4 = 8

-

11 + +14= 3

-

40 + +6 = -4

Propiedades de la adición:
a) Clausura: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ.
b) Conmutatividad: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.
c)Asociatividad: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).
d) Elemento neutro: 𝑠𝑖 𝑎 ∈ ℤ ⇒ ∃! 0 ∈ ℤ 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎.
e) Opuesto aditivo o inverso aditivo: 𝑠𝑖 𝑎 ∈ ℤ ⇒ ∃ − 𝑎 ∈ ℤ 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0.
Debido al cumplimiento de estas 5 propiedades, se dice que el conjunto de los números enteros con respecto a la
adición tiene estructura algebraica de grupo abeliano o grupo conmutativo cuyanotación es
ℤ, + es grupo abeliano.

2.- Sustracción en ℤ: Para restar dos números enteros se debe sumar al minuendo el inverso aditivo del
sustraendo.
Ejemplos:
-

3 - -4= -3 + +4 = +1

5 - -2 = 5+ +2 = +7

-

9 - 4= - 9+ - 4 = -13

6 – 7= 6 + - 7 = -1

3.- Multiplicación en ℤ: se distinguen dos casos:
a) Multiplicación de números enteros de igual signo: el producto de dos números enteros deigual signo es un
entero positivo, cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
Ejemplo:

+

6 · +4 = +24

-

9 · -4 = +36

b) Multiplicación de números enteros de distinto signo: el producto de dos números enteros de distinto signo es
un entero negativo, cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
Ejemplo:

-

12 · +3 =-36

+

11 · -4 = -44

Propiedades de la adición:
a) Clausura: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℤ.
b) Conmutatividad: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎.
c) Asociatividad: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐).
d) Elemento neutro: 𝑠𝑖 𝑎 ∈ ℤ ⇒ ∃! 1 ∈ ℤ 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎.
e) Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición:
𝑠𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐.
El conjunto de losnúmeros enteros, con las operaciones de la multiplicación y adición, tiene estructura
algebraica de anillo conmutativo con unidad, cuya notación es: ℤ , +,∙ es anillo conmutativo con unidad.
4.- División en ℤ: Se distinguen dos casos:
a) División de números enteros de igual signo: el cuociente de dos enteros de igual signo es un número
positivo.
Ejemplos:

+

18 : +9 = +2

-

90 : -2 = +45

b) Divisiónde números enteros de distinto signo: el cuociente de dos enteros de distinto signo es un número
positivo.
Ejemplos:

+

12 : -6 = -2

-

40 : +4 = -10

5.- Operaciones combinadas: para resolver un ejercicio en el que aparecen varias operaciones, se debe
resolver respetando la prioridad de las operaciones:
1° Paréntesis.
2° Potencias.
3° Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha)...