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Ejercicios de Modelos de Probabilidad
Elisa M. Molanes-L´opez, Depto. Estad´ıstica, UC3M

Binomial, Poisson, Exponencial y Uniforme
Ejercicio 1. Se dispone de un sistema formado por dos componentes similares conectados en paralelo
y que funcionan independientemente el uno del otro.
a) Si el tiempo de vida de cada componente se puede modelizar a trav´es de una Exponencial con
media 5000 horas,¿cu´
al es la probabilidad de que el sistema est´e al menos 10000 horas en
funcionamiento ininterrumpido?
b) Supongamos que el sistema lleva ya 8000 horas en funcionamiento, ¿qu´e probabilidad hay de
que llegue a las 10000 horas, es decir, que funcione al menos 2000 horas m´as?
Soluci´
on: Sea Ti el tiempo de vida en horas del componente i, siendo i = 1, 2. Se sabe que Ti sigue
una distribuci´
onExponencial con par´
ametro λi y media E[Ti ] = 5000 horas. Dado que λi = 1/E[Ti ],
resulta que λi = 1/5000 h−1 para i = 1, 2. Sea T el tiempo de vida en horas del sistema completo.
a) Nos piden Pr(T > 10000 h). Teniendo en cuenta la independencia de sucesos, la propiedad del
suceso contrario y las leyes de Morgan, resulta que:
Pr(T > 10000)

=

Pr({T1 > 10000} ∪ {T2 > 10000})

=

1 − Pr({T1 > 10000} ∪{T2 > 10000})

=

1 − Pr({T1 > 10000} ∩ {T2 > 10000})

=

1 − Pr({T1 ≤ 10000}) Pr({T2 ≤ 10000})

=

1 − (1 − e−2 )2 = 0,25235.

N´
otese que hemos usado el hecho de que
10000

Pr(T1 ≤ 10000) =
0

1 −t/5000
e
dt = 1 − e−2 = 0,86466.
5000

b) Nos piden Pr(T > 10000|T > 8000). Utilizando la definici´on de probabilidad condicionada,
resulta que:
Pr(T > 10000|T > 8000)

=

Pr(T > 10000)
1 − (1 − e−2)2
=
= 0,69513.
Pr(T > 8000)
1 − (1 − e−8/5 )2

N´
otese que Pr(T > 8000) se calcula de modo an´alogo a Pr(T > 10000).
Ejercicio 2. Se dispone de un sistema formado por dos componentes similares conectados en serie
y que funcionan independientemente el uno del otro.
a) Si el tiempo de vida de cada componente se puede modelizar a trav´es de una Exponencial con
media 5000 horas, ¿cu´
al es laprobabilidad de que el sistema est´e al menos 10000 horas en
funcionamiento ininterrumpido?
b) Supongamos que el sistema lleva ya 8000 horas en funcionamiento, ¿qu´e probabilidad hay de
que llegue a las 10000 horas, es decir, que funcione al menos 2000 horas m´as?
1

Soluci´
on: Sea Ti el tiempo de vida en horas del componente i (i = 1, 2). Se sabe que Ti sigue una
distribuci´
on Exponencial con par´ametro λi y media E[Ti ] = 5000 horas. Dado que λi = 1/E[Ti ],
resulta que λi = 1/5000 h−1 para i = 1, 2. Sea T el tiempo de vida en horas del sistema completo.
a) Nos piden Pr(T > 10000 h). Teniendo en cuenta la independencia de sucesos, la propiedad del
suceso contrario y las leyes de Morgan, resulta que:
Pr(T > 10000)

=

Pr({T1 > 10000} ∩ {T2 > 10000})

=

Pr(T1 > 10000) Pr(T2 > 10000)

=

(1 −Pr(T1 ≤ 10000))(1 − Pr(T2 ≤ 10000))

=

(e−2 )2 = 0,01832.

N´
otese que hemos usado el hecho de que Pr(T1 ≤ 10000) = 1 − e−2 = 0,86466.
b) Nos piden Pr(T > 10000|T > 8000). Utilizando la definici´on de probabilidad condicionada,
resulta que:
Pr(T > 10000|T > 8000)

=

(e−2 )2
Pr(T > 10000)
= −8/5 2 = 0,44933.
Pr(T > 8000)
(e
)

N´
otese que Pr(T > 8000) se calcula de modo an´alogo a Pr(T >10000).
Nota interesante: A diferencia con el apartado b) del Ejercicio 1, en esta ocaci´
on sucede
que T se puede ver como el m´ınimo de dos tiempos exponenciales independientes, es decir,
T = m´ın {T1 , T2 }. Bajo esta circunstancia, es sencillo demostrar que T sigue un modelo Exponencial con par´
ametro igual a la suma de los par´
ametros de las dos exponenciales implicadas,
T1 y T2 . Por estemotivo, el apartado b) podr´ıa haberse resuelto utilizando la falta de memoria
de la Exponencial, es decir, la probabilidad pedida coincidir´ıa con Pr(T > 2000), siendo T una
v.a. Exponencial con par´
ametro λ = λ1 + λ2 = 2/5000 h−1 .
Ejercicio 3. Sea X la v.a. horas que se dedica a realizar una actividad, cuya funci´on de densidad
viene dada por f (x) = 14 (x + 1), si 0 < x < 2.
a) Calcule la...