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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LA FUERZA ARMADA
(UNEFA)
NUCLEO GUARICO- SEDE TUCUPIDO
ING. CIVIL




TRANSFORMACIONES
LINEALES



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ANGEL FIGUEROA C.I





























Introducción
Una transformación es un conjunto de operacionesque se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremosque las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicacionesimportantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática. Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.










Transformaciones lineales
Se denomina aplicación lineal o transformación lineal a todaaplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean y espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo, y una función de en . es una transformación lineal si para todo par de vectores y pertenecientes a y para todo escalar perteneciente a , se satisface que:

Donde k es un escalar.
Propiedades de las transformaciones lineales
Unatransformación lineal debe cumplir las siguientes condiciones o propiedades:
Teorema:
Sea T: V W una transformación lineal, entonces:
a) T(0v)= 0W.
Es decir el neutro se envía al neutro
b) T(-V)=-T (V)
Es decir envía inversos aditivos en inversos aditivos
c) T(U-V)= T(U)-T(V).
Es decir, envía restas en restas
Núcleo e Imagen de transformación Lineal
Si T: V \rarr W es lineal, sedefine el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
\operatorname {Ker}(T)=\{\,x\in V:T(x)=0_W\,\}
* Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
* El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. 0_V \in Ker(T) dado que \operatorname {T}(0_V) = 0_W2. Dados u , v \in Ker(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in Ker(T)
3. Dados u \in Ker(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in Ker(T)
* Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Ker(T)) \operatorname{Im}(T) = \left\{y/y \in W \and \exists x \in V / (x,y) \in T\right\}
* O sea que la imagen de unatransformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
* La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
* El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))
Matriz asociada a una transformación lineal con respecto a una base dada.
Según la teoría debrevis-devaud, una matriz asociada es la matriz formada por las coordinadas de los elementos de una base.
Dada T:V→ W, con B= { } y C={} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de V1.
T()=
Entonces:
Coordc(V1)=() y la matriz asociada a T, en las bases b y c, es...