xdfisica

Cap´
ıtulo 1
L´gica Informal
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La l´gica es un ´rea de la matem´tica que se encarga de estudiar los principios
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formales del razonamiento o la inferencia correcta. En un nivel elemental, la l´gica proo
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porciona reglas y t´cnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El
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razonamiento l´gico es usado en matem´ticas para hacer demostraciones, en compuo
a
taci´npara determinar si un programa es correcto, en ciencias naturales sirve para
o
sacar conclusiones de los experimentos realizados y en general en la vida cotidiana para
resolver una amplia variedad de problemas. Lo que veremos en este cap´
ıtulo ser´ apea
nas lo suficiente para entender como se hace una prueba rigurosa y lo desarrollaremos
de forma informal. Trataremos de entender lo que es unaafirmaci´n bien formada y
o
lo que es un argumento v´lido, estas dos nociones nos permitir´n establecer y probar
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teoremas.

1.1.

Afirmaciones

Las afirmaciones son los bloques fundamentales en la construcci´n de la matem´tica,
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pero tenemos que tener bien claro que frases ser´n consideradas como afirmaciones.
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Definici´n 1.1 (Afirmaci´n). Intuitivamente una afirmaci´n es algoque expresamos
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(en forma oral, escrita o de cualquier otra manera) de lo que se puede decir si es cierto
o falso.
Existen algunas paradojas, tales como “Esta afirmaci´n es falsa” la cual no puede
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ser cierta o falsa. Si creemos que es cierta entonces por su contenido ser´ falsa y si
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fuese falsa, tendriamos que la afirmaci´n es verdadera. Nosotros no consideraremos las
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paradojascomo afirmaciones.
Ejemplo 1.2. “Bogot´ es la capital de Colombia” y “debajo de la torre Eiffel hay un
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carro rojo”. Ambas son afirmaciones. De la primera no tenemos duda si es verdadera
o falsa y de la segunda no hay certeza, sin embargo, tambi´n es una afirmaci´n y no es
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necesario estar en la capacidad de saber personalmente la respuesta.
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CAP´
ITULO 1. LOGICA INFORMAL

2Ejemplo 1.3. “Viajar en la noche”, “ ¿Que hora es?” y “mirar televisi´n”. No son
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afirmaciones. De ´stas no se puede decir que sean verdaderas o falsas.
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Ejemplo 1.4. “Todo n´mero par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos
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n´meros primos” es una afirmaci´n la cual hasta el d´a de hoy no ha sido resulta y por
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tanto no sabemos si es cierta o falsa, pero sigue siendo unaafirmaci´n. De hecho es
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una de las conjeturas mas importantes en Teor´a de N´meros, propuesta por Christian
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Goldbach en 1742. Esta conjetura ha sido investigada por muchas personas y ha sido
comprobada computacionalmente para todos los n´meros pares menores que 1018 .
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Toda afirmaci´n es verdadera o falsa y no hay una afirmaci´n que sea verdadera y
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falsa al mismo tiempo. Estasuposici´n le llamamos la Ley del Medio Excluido. La
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mayor´ de los matem´ticos la aceptan, sin embargo, algunos demasiado formales se
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rehusan a usarla. Una consecuencia de esta suposici´n es que si una afirmaci´n no es
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falsa tendr´ que ser verdadera.
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A partir de afirmaciones podemos construir otras afirmaciones. Teniendo como base
las afirmaciones: P : “Bogot´ es la capital deColombia”, Q: “debajo de la torre Eiffel hay
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un carro rojo”, podemos construir nuevas afirmaciones, por ejemplo: P y Q: “Bogota es
la capital de Colombia y debajo de la torre Eiffel hay un carro rojo”, P o Q: “Bogot´ es
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la capital de Colombia o debajo de la torre Eiffel hay un carro rojo”.

1.1.1.

Operaciones B´sicas.
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Las palabras “y”, “o”, “no”, “si,..., entonces”, “si y s´lo si”, nospermitir´n hacer
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nuevas afirmaciones y adem´s, conociendo los valores de verdad de las afirmaciones que
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componen la nueva afirmaci´n, podremos deducir el valor de verdad de esta. Dichas
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palabras tienen una notaci´n especial y su sentido en matem´ticas es preciso.
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1. Conjunci´n: ∧ (Corresponde al “y” del lenguaje com´n). Sean P y Q afirmacioo
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nes. La afirmaci´n P ∧ Q se...